[Développements asymptotiques combinés et points tournants d'équations différentielles singulièrement perturbées]
On présente une théorie de développements asymptotiques pour des fonctions de deux variables, combinant à la fois des fonctions d'une des variables et des fonctions du quotient de ces deux variables. Ces développements asymptotiques combinés (dac) sont bien adaptés à la description des solutions d'équations différentielles ordinaires singulièrement perturbées au voisinage de points tournants. Le lien et les différences avec les méthodes de matching et les développements combinés classiques sont décrits. Cette théorie est appliquée à un problème de solutions canard.
We present a new type of asymptotic expansions for functions of two variables, the coefficients of which contain functions of one of the variables as well as functions of the quotient of these two variables. These combined asymptotic expansions (cae) are particularly well suited for the description of solutions of singularly perturbed ordinary differential equations in the neighborhood of turning points. The relations with the method of matched asymptotic expansions and with the classical cae used for boundary layers are described. An application to canard solutions is given.
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Fruchard, Augustin; Schäfke, Reinhard. Composite asymptotic expansions and turning points of singularly perturbed ordinary differential equations. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 23-24, pp. 1273-1277. doi : 10.1016/j.crma.2010.10.027. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.10.027/
[1] On combined asymptotic expansions in singular perturbations, Electron. J. Diff. Eqns., Volume 2002 (2002) no. 51, pp. 1-27
[2] Nonstandard Analysis in Practice, Universitext, Springer, 1995
[3] Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, Studies in Mathematics and Its Applications, vol. 9, North-Holland, 1979
[4] T. Forget, Points tournants dégénérés, Thèse de Doctorat, Université de La Rochelle, 2007.
[5] Développements asymptotiques combinés et points tournants d'équations différentielles singulièrement perturbées (preprint HAL: hal-00461542 and) | arXiv
[6] On maximum bifurcation delay in real planar singularly perturbed vector fields, Nonlinear Analysis, Volume 68 (2008) no. 3, pp. 547-576
[7] Asymptotic Expansions of the Solutions of Singularly Perturbed Equations, Izdat. “Nauka”, Moscow, 1973 (in Russian)
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Cité par Sources :
