On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem

Zhou, Shuang; Luo, Zhuangchu; Zhang, Changgui

doi:10.1016/j.crma.2010.06.002

Ordinary Differential Equations

On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem
[Sur la sommabilité des solutions formelles d'un problème de Cauchy et la généralisation d'un théorème de Mordell]

Présenté par : Jean-Pierre Ramis

Zhou, Shuang ^1,² ; Luo, Zhuangchu ¹ ; Zhang, Changgui ²

¹ School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan, Hubei, 430072, China
² Laboratoire Paul-Painlevé, UMR-CNRS 8524, UFR mathématiques pures et appliquées, université des sciences et technologies de Lille (Lille 1), cité scientique, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 13-14, pp. 753-758.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous considérons l'équation de la chaleur avec une condition initiale singulière $φ (z) = \frac{1}{1 - e^{z}}$ , $z \in C ∖ 2 π i Z$ . Le but est d'établir des relations entre trois sommes d'une solution formelle divergente de ce problème de Cauchy : la somme de Borel basée sur des résultats de Lutz et al. (1999) [4] et deux sommes de Borel q-analogues obtenues respectivement au moyen du noyau de la chaleur (Zhang, 1999) [8] et la fonction Theta (Ramis and Zhang, 2002 ; Zhang, 2002) [7,9]. Nous montrons que la somme de Borel est égale à la somme q-Borel donnée par le noyau de la chaleur et que la relation entre les deux sommes q-Borel donne lieu à une généralisation naturelle d'un théorème de Mordell.

In this Note, we shall consider the heat equation with a singular initial condition $φ (z) = \frac{1}{1 - e^{z}}$ , $z \in C ∖ 2 π i Z$ . The aim is to establish relations among three sums of a divergent formal solution to this Cauchy problem: Borel-sum based on known results in Lutz et al. (1999) [4] and two q-Borel sums obtained by means of Heat Kernel and Theta function respectively in Zhang (1999) [8] and in Ramis and Zhang (2002) [7], Zhang (2002) [9]. It is shown that the Borel-sum is equal to q-Borel sum given by the integral expression with Heat Kernel and that the relation between two q-Borel sums gives rise to a natural generalization of Mordell's Theorem.

Reçu le : 2010-02-15
Accepté le : 2010-05-31
Publié le : 2010-06-23

DOI : 10.1016/j.crma.2010.06.002

Affiliations des auteurs :

Zhou, Shuang ^{1, 2} ; Luo, Zhuangchu ¹ ; Zhang, Changgui ²

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Zhou, Shuang; Luo, Zhuangchu; Zhang, Changgui. On summability of formal solutions to a Cauchy problem and generalization of Mordell's Theorem. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 13-14, pp. 753-758. doi : 10.1016/j.crma.2010.06.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.06.002/

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Cité par Sources :