A fictitious domain model for the Stokes/Brinkman problem with jump embedded boundary conditions

Angot, Philippe

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 11-12, pp. 697-702.

Nous présentons l'analyse d'une nouvelle méthode de domaine fictif pour des problèmes de Brinkman ou de Stokes/Brinkman permettant de traîter des conditions de sauts (J.E.B.C.) immergées générales. Notre modèle est basé sur des conditions de transmission algébriques combinant les sauts des vecteurs contrainte et vitesse sur l'interface Σ séparant deux sous-domaines. Elles sont bien choisies de façon à guarantir la coercivité de l'opérateur et issues de la généralisation à des problèmes elliptiques vectoriels d'un modèle établi dans le cas scalaire (Angot (2003, 2005) [2,3]). On prouve tout d'abord que le modèle proposé est globalement bien posé dans tout le domaine fictif et on en identifie certains sous-modèles. Une classe de méthodes est ensuite proposée dans la même formulation unifiée qui permet d'obtenir des conditions aux limites variées, comme par exemple une contrainte donnée de type Neumann ou Fourier ou une vitesse imposée sur la frontière immergée. En particulier, nous prouvons la consistance de la méthode E.B.C. pour une condition de traction imposée qui inclue la condition usuelle de sortie ouverte de l'écoulement.

We present and analyze a new fictitious domain model for the Brinkman or Stokes/Brinkman problems in order to handle general jump embedded boundary conditions (J.E.B.C.) on an immersed interface. Our model is based on algebraic transmission conditions combining the stress and velocity jumps on the interface Σ separating two subdomains: they are well chosen to get the coercivity of the operator. It is issued from a generalization to vector elliptic problems of a previous model stated for scalar problems with jump boundary conditions (Angot (2003, 2005) [2,3]). The proposed model is first proved to be well-posed in the whole fictitious domain and some sub-models are identified. A family of fictitious domain methods can be then derived within the same unified formulation which provides various interface or boundary conditions, e.g. a given stress of Neumann or Fourier type or a velocity Dirichlet condition. In particular, we prove the consistency of the given-traction E.B.C. method including the so-called do nothing outflow boundary condition.

[1] Angot, Ph. Analysis of singular perturbations on the Brinkman problem for fictitious domain models of viscous flows, Math. Meth. Appl. Sci. (M2AS), Volume 22 (1999) no. 16, pp. 1395-1412

[2] Angot, Ph. A model of fracture for elliptic problems with flux and solution jumps, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 337 (2003) no. 6, pp. 425-430

[3] Angot, Ph. A unified fictitious domain model for general embedded boundary conditions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 341 (2005) no. 11, pp. 683-688

[4] Ph. Angot, On the well-posed coupling between free fluid and porous viscous flows, Appl. Math. Lett., in press

[5] Angot, Ph.; Bruneau, C.-H.; Fabrie, P. A penalization method to take into account obstacles in incompressible viscous flows, Nümer. Math., Volume 81 (1999) no. 4, pp. 497-520

[6] Boyer, F.; Fabrie, P. Éléments d'analyse pour l'étude de quelques modèles d'écoulements de fluides visqueux incompressibles, Mathématiques & Applications, vol. 52, Springer-Verlag, 2006

[7] Girault, V.; Raviart, P.A. Finite Element Methods for the Navier–Stokes Equations, Springer Series in Comput. Math., vol. 5, Springer-Verlag, 1986 (1st edn. 1979)

[8] Girault, V.; Glowinski, R.; Lopez, H.; Vila, J.P. A boundary multiplier/fictitious domain method for the steady incompressible Navier–Stokes equations, Nümer. Math., Volume 88 (2001) no. 1, pp. 75-103

[9] Khadra, K.; Angot, Ph.; Parneix, S.; Caltagirone, J.-P. Fictitious domain approach for numerical modelling of Navier–Stokes equations, Int. J. Numer. Meth. Fluids, Volume 34 (2000) no. 8, pp. 651-684

[10] Ladyzhenskaya, O.A.; Ural'tseva, N.N. Linear and Quasilinear Elliptic Equations, Math. in Sci. and Engrg., vol. 46, Academic Press, New York, 1968

[11] Lee, L.; LeVeque, R.J. An immersed interface method for incompressible Navier–Stokes equations, SIAM J. Sci. Comput., Volume 25 (2003) no. 3, pp. 832-856

[12] Li, Z.; Lai, M.-C. The immersed interface method for the Navier–Stokes equations with singular sources, J. Comput. Phys., Volume 171 (2001), pp. 822-842

[13] Lions, J.-L. Problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles, Presses de l'Université de Montréal, 1965

[14] Nečas, J. Les méthodes directes en théorie des équations elliptiques, Masson, Paris, 1967

[15] Peskin, C.S. The immersed boundary method, Acta Numer. (2002), pp. 479-517

[16] Ramière, I.; Angot, Ph.; Belliard, M. A fictitious domain approach with spread interface for elliptic problems with general boundary conditions, Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg., Volume 196 (2007) no. 4–6, pp. 766-781

[17] Ramière, I.; Angot, Ph.; Belliard, M. A general fictitious domain method with immersed jumps and multilevel nested structured meshes, J. Comput. Phys., Volume 225 (2007) no. 2, pp. 1347-1387

[18] Temam, R. Navier–Stokes Equations; Theory and Numerical Analysis, North-Holland, 1986 (1st edn. 1977)