no. 9-10
Théorie des nombres
Sur l'équation xpm−1+ypm−1+zpm−1≡0modpm

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Apéry, François1
1 F.S.T., 68093 Mulhouse cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 9-10, pp. 479-482.

On démontre la formule ∑m⩾1Sm(p)=(p−1)valpWp−1, où Wp−1 est le nombre de Wendt d'ordre p−1, et Sm(p) est le nombre de classes de solutions non triviales de xpm−1+ypm−1+zpm−1≡0modpm. Dans le cas p≡1mod6, la sommation est infinie, mais on obtient une formule analogue avec une somme finie en considérant les classes de solutions non triviales et non cycliques et le nombre de Wendt réduit.

The formula ∑m⩾1Sm(p)=(p−1)valpWp−1 is proved, where Wp−1 is the Wendt number of order p−1, and Sm(p) denotes the number of nontrivial solution classes of xpm−1+ypm−1+zpm−1≡0modpm. In the case p≡1mod6, the sum is infinite, however, we obtain a similar formula with a finite sum by considering the nontrivial and noncyclic solution classes as well as the reduced Wendt number.

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.03.005
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[1] Apéry, F.; Jouanolou, J.-P. Élimination, le cas d'une variable, Hermann, Paris, 2006

[2] Bourbaki, N. Éléments de mathématique ; Algèbre commutative, Masson, Paris, 1983 (ch. 8–9)

[3] Bourbaki, N. Éléments de mathématique ; Algèbre, Masson, Paris, 1981 (ch. 4, §6, no 6)

[4] Boyd, D.W. The asymptotic behaviour of the binomial circulant determinant, J. Math. Anal. Appl., Volume 86 (1982), pp. 30-38

[5] Hellegouarch, Y.; Recher, F. Défaut d'additivité des chiffres de Teichmüller, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I, Volume 318 (1994), pp. 401-406

[6] Ribenboim, P. Fermat's Last Theorem for Amateurs, Springer, New York, 1999

Cité par Sources :

☆ Cette Note doit beaucoup d'améliorations à J.-P. Jouanolou, Y. Hellegouarch et J.-P. Serre.