Almost sure convergence of some random series

Grivaux, Sophie

doi:10.1016/j.crma.2010.01.020

Partial Differential Equations/Functional Analysis

Almost sure convergence of some random series
[Convergence presque sûre de certaines séries aléatoires]

Présenté par : Gilles Lebeau

Grivaux, Sophie ¹

¹ Laboratoire Paul-Painlevé, UMR 8524, université Lille 1, cité scientifique, bâtiment M2, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 3-4, pp. 155-159.

Résumé
Abstract

Soit ${(c_{n})}_{n ⩾ 1}$ une suite de nombres complexes de carré sommable, $d ⩾ 2$ un entier, et ${(e_{n, d})}_{n ⩾ 1}$ la base orthonormée de l'espace $L^{2} ([0, 1], r^{d - 1} d r)$ formée par les fonctions propres radiales de l'opérateur de Laplace agissant sur l'espace $L^{2} (D^{d})$ des fonctions de carré intégrable sur la boule unité $D^{d} = {x \in R^{d}; r = | x | < 1}$ de $R^{d}$ . Nous généralisons un résultat d'Ayache et Tzvetkov en calculant dans le cas général l'exposant critique de la suite ${(c_{n})}_{n ⩾ 1}$ , c'est-à-dire l'infimum des $p ⩾ 2$ tels que la série aléatoire $\sum ε_{n} (ω) c_{n} e_{n, d}$ converge presque sûrement dans $L^{p} ([0, 1], r^{d - 1} d r)$ , où $(ε_{n})$ désigne une suite de choix de signes indépendants sur un espace de probabilité $(Ω, F, P)$ .

Let ${(c_{n})}_{n ⩾ 1}$ be a square-summable sequence of complex numbers, $d ⩾ 2$ an integer, and ${(e_{n, d})}_{n ⩾ 1}$ the orthonormal basis of the space $L^{2} ([0, 1], r^{d - 1} d r)$ consisting of the radial eigenfunctions of the Laplace operator acting on the space $L^{2} (D^{d})$ of square-summable functions on the unit ball $D^{d} = {x \in R^{d}; r = | x | < 1}$ of $R^{d}$ . We generalize a result of Ayache and Tzvetkov and compute in the general case the critical exponent of the sequence ${(c_{n})}_{n ⩾ 1}$ , i.e. the infimum of the p's, $p ⩾ 2$ , such that the random series $\sum ε_{n} (ω) c_{n} e_{n, d}$ converges almost surely in $L^{p} ([0, 1], r^{d - 1} c d r)$ , where $(ε_{n})$ denotes a sequence of independent random choices of signs on a probability space $(Ω, F, P)$ .

Reçu le : 2008-06-09
Accepté le : 2010-01-20
Publié le : 2010-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2010.01.020

Affiliations des auteurs :

Grivaux, Sophie ¹

¹ Laboratoire Paul-Painlevé, UMR 8524, université Lille 1, cité scientifique, bâtiment M2, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France

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Grivaux, Sophie. Almost sure convergence of some random series. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 3-4, pp. 155-159. doi : 10.1016/j.crma.2010.01.020. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2010.01.020/

Bibliographie
Cité par

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[2] Diestel, J.; Jarchow, H.; Tonge, A. Absolutely Summing Operators, Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995

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[4] Maurey, B.; Pisier, G. Séries de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés géométriques des espaces de Banach, Studia Math., Volume 58 (1976), pp. 45-90

Cité par Sources :