Equations hessiennes complexes sur des variétés kählériennes compactes

Jbilou, Asma

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 348 (2010) no. 1-2, pp. 41-46.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ω étant la forme de Kähler, Ω une forme volume donnée dans [ω]m et k un entier 1<k<m, on cherche à résoudre de façon unique dans [ω] l'équation ω˜k∧ωm−k=Ω en utilisant une notion de k-positivité pour ω˜∈[ω] (les cas extrêmes sont résolus : k=m par Yau, k=1 trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre k complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionnelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.

On a compact connected 2m-dimensional Kähler manifold with Kähler form ω, given a volume form Ω∈[ω]m and an integer 1<k<m, we want to solve uniquely in [ω] the equation ω˜k∧ωm−k=Ω, relying on the notion of k-positivity for ω˜∈[ω] (the extreme cases are solved: k=m by Yau, k=1 trivially). We solve by the continuity method the corresponding complex elliptic k-th Hessian equation under the assumption that the holomorphic bisectional curvature of the manifold is non-negative, required here only to derive an a priori eigenvalues pinching.

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