Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque

Zarouf, Rachid

doi:10.1016/j.crma.2009.04.014

Analyse fonctionnelle

Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque
[Interpolation with constraints on the finite sets of the disc]

Presented by: Gilles Pisier

Zarouf, Rachid ¹

¹ Equipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 13-14, pp. 785-790.

Abstract
Résumé

Given a finite set σ of the unit disc $D = {z \in C : | z | < 1}$ and a holomorphic function f in $D$ which belongs to a class X, we are looking for a function g in another class Y (smaller than X) which minimizes the norm $‖ g ‖_{Y}$ among all functions g such that $g_{| σ} = f_{| σ}$ . For $Y = H^{\infty}$ , and for the corresponding interpolation constant $c (σ, X, H^{\infty})$ , we show that $c (σ, X, H^{\infty}) ⩽ a φ_{X} (1 - \frac{1 - r}{n})$ where $n = # σ$ , $r = \max_{λ \in σ} | λ |$ and where $φ_{X} (t)$ stands for the norm of the evaluation functional $f \mapsto f (λ)$ on the space X. The upper bound is sharp over sets σ with given n and r.

Étant donné un ensemble fini σ du disque unité $D = {z \in C : | z | < 1}$ et une fonction f holomorphe dans $D$ appartenant à une certaine classe X, on cherche g dans une autre classe Y (plus petite que X) qui minimise la norme de g dans Y parmi toutes les fonctions g satisfaisant la condition $g_{| σ} = f_{| σ}$ . On montre que dans le cas $Y = H^{\infty}$ , la constante d'interpolation correspondante $c (σ, X, H^{\infty})$ est majorée par $a φ_{X} (1 - \frac{1 - r}{n})$ où $n = # σ$ , $r = \max_{λ \in σ} | λ |$ et $φ_{X} (t)$ est la norme de la fonctionnelle d'évaluation $f \mapsto f (λ)$ , sur l'espace X. La majoration est exacte sur l'ensemble des σ avec n et r donné.

Received: 2009-04-04
Accepted: 2009-04-09
Published online: 2009-05-17

DOI: 10.1016/j.crma.2009.04.014

Author's affiliations:

Zarouf, Rachid ¹

¹ Equipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France

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Zarouf, Rachid. Interpolation avec contraintes sur des ensembles finis du disque. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 13-14, pp. 785-790. doi : 10.1016/j.crma.2009.04.014. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.04.014/

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