no. 15-16
Analyse fonctionnelle
Une amélioration d'un résultat de E.B. Davies et B. Simon

Présenté par : Gilles Pisier

Zarouf, Rachid1
1 Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 15-16, pp. 939-942.

E.B. Davies et B. Simon ont montré (entre autres résultats) la chose suivante : soit T, une matrice n×n telle que son spectre σ(T) soit inclus dans le disque D={z∈C:|z|<1} et soit C=supn⩾0‖Tn‖E→E (E étant Cn muni d'une certaine norme |.|). Alors ‖R(1,T)‖E→E⩽C(3n/dist(1,σ(T)))3/2 où R(λ,T) désigne la résolvante de T prise au point λ. Nous améliorons ici cette dernière inégalité à travers le résultat suivant : sous les mêmes conditions (portant sur la matrice T), pour tout λ∉σ(A) tel que |λ|⩾1, on a ‖R(λ,T)‖⩽C(5π/3+22)n3/2/dist(λ,σ).

E.B. Davies and B. Simon have shown (among other things) the following result: if T is an n×n matrix such that its spectrum σ(T) is included in the open unit disc D={z∈C:|z|<1} and if C=supk⩾0‖Tk‖E→E, where E stands for Cn endowed with a certain norm |.|, then ‖R(1,T)‖E→E⩽C(3n/dist(1,σ(T)))3/2 where R(λ,T) stands for the resolvent of T at point λ. Here, we improve this inequality showing that under the same hypotheses (on the matrix T), ‖R(λ,T)‖⩽C(5π/3+22)n3/2/dist(λ,σ), for all λ∉σ(T) such that |λ|⩾1.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.04.012
Zarouf, Rachid 1

1 Équipe d'analyse et géométrie, Institut de mathématiques de Bordeaux, Université Bordeaux, 351, cours de la Libération, 33405 Talence, France 
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[1] Davies, E.B.; Simon, B. Eigenvalue estimates for non-normal matrices and the zeros of random orthogonal polynomials on the unit circle, J. Approx. Theory, Volume 141 (2006) no. 2, pp. 189-213

[2] Domar, Y. On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function, Ark. Mat., Volume 3 (1958), pp. 429-440

[3] Nikolski, N. Condition numbers of large matrices and analytic capacities, St. Petersburg Math. J., Volume 17 (2006), pp. 641-682

[4] Nikolski, N. Operators, Function, and Systems: An Easy Reading, vol. 1, AMS, Providence, 2002

[5] Nikolski, N. Treatise on the Shift Operator, Springer-Verlag, Berlin, 1986

[6] Nikolski, N.; Khrushchev, S.A. Function model and some problems in the spectral theory of functions, Trudy Mat. Inst. Steklov., Volume 176 (1987), pp. 97-210 (in Russian). English transl.: Proc. Steklov Inst. Math. 3 (1988) 101–214

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