Nous présentons un théorème d'existence d'équilibre de Nash pour un jeu discontinu et dans un espace vectoriel topologique. On utilise une hypothèse de meilleure réponse sécurisée plus forte que celle de Reny. Si la fonction de paiement est semi-continue supérieurement, les deux hypothèses de meilleure réponse sécurisée coïncident. Notre preuve est simple, indépendante et basée sur une version du théorème de Fan–Browder d'existence d'élément maximal dû à Deguire et Lassonde, dont nous démontrons une extension au cas des espaces non séparés.
This Note presents a theorem of the existence of the Nash equilibrium for discontinuous games in a topological vector space. We will use an assumption of better reply secure which is stronger then that of Reny. If the payoff function is upper semi-continuous, the two assumptions coincide. Our proof is simple, independent and based on a version of Fan–Browder theorem of existence of maximal element due to Deguire and Lassonde, which is extended to the non-Hausdorf case.
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Bonnisseau, Jean-Marc; Gourdel, Pascal; Hammami, Hakim. Une preuve alternative de l'existence d'un équilibre de Nash dans les jeux discontinus. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 11-12, pp. 701-704. doi : 10.1016/j.crma.2009.03.024. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2009.03.024/
[1] Éléments d'analyse convexe et variationnelle, Ellipses, Paris, 1997
[2] P. Bich, A constructive and elementary proof of Reny's theorem, cahiers de la MSE 2006-01, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, 2006
[3] Familles sélectantes, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Volume 5 (1995), pp. 261-269
[4] Pseudocontinuous functions and existence of Nash equilibria, Journal of Mathematical Economics, Volume 43 (2007), pp. 174-183
[5] Topological Vector Spaces, Distributions and Kernel, Academic Press, New York, 1967
[6] On the existence of pure and mixed strategy Nash equilibria in discontinuous games, Econometrica, Volume 67 (1998), pp. 1029-1056
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