Functions of perturbed operators

Aleksandrov, Aleksei; Peller, Vladimir

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 483-488.

We prove that if 0<α<1 and f is in the Hölder class Λα(R), then for arbitrary selfadjoint operators A and B with bounded A−B, the operator f(A)−f(B) is bounded and ‖f(A)−f(B)‖⩽const‖A−B‖α. We prove a similar result for functions f of the Zygmund class Λ1(R): ‖f(A+K)−2f(A)+f(A−K)‖⩽const‖K‖, where A and K are selfadjoint operators. Similar results also hold for all Hölder–Zygmund classes Λα(R), α>0. We also study properties of the operators f(A)−f(B) for f∈Λα(R) and selfadjoint operators A and B such that A−B belongs to the Schatten–von Neumann class Sp. We consider the same problem for higher order differences. Similar results also hold for unitary operators and for contractions.

Nous démontrons que si 0<α<1 et f appartient à la classe de Hölder Λα(R), alors pour tous les opérateurs A et B autoadjoints dont la différence est bornée on a : ‖f(A)−f(B)‖⩽const‖A−B‖α. Nous obtenons un résultat analogue pour les fonctions de la classe de Zygmund Λ1(R) : ‖f(A+K)−2f(A)+f(A−K)‖⩽const‖K‖, où A et K sont des opérateurs autoadjoints. Un résultat analogue est aussi vrai pour toutes les classes de Hölder–Zygmund Λα(R), α>0. Nous étudions aussi les propriétés des opérateurs f(A)−f(B) si f∈Λα(R) et A et B sont des opérateurs autoadjoints dont la différence appartient à la classe de Schatten–von Neumann Sp. Nous considérons le même problème pour les différences d'ordre arbitraire. On peut obtenir des résultats analogues pour les opérateurs unitaires et pour les contractions.

[1] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 1 (1966), pp. 33-67 (Russian). English transl.: Math. Topics Physics, 1, 1967, pp. 25-54 Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, New York

[2] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals. II, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 2 (1967), pp. 26-60 (Russian). English transl.: Math. Topics Physics, 2, 1968, pp. 19-46 Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, New York

[3] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals. III, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 6 (1973), pp. 27-53 (Russian)

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[10] Peller, V.V. Hankel Operators and Their Applications, Springer-Verlag, New York, 2003

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