Functions of perturbed operators

Aleksandrov, Aleksei; Peller, Vladimir

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 347 (2009) no. 9-10, pp. 483-488.

Nous démontrons que si 0<α<1 et f appartient à la classe de Hölder Λα(R), alors pour tous les opérateurs A et B autoadjoints dont la différence est bornée on a : ‖f(A)−f(B)‖⩽const‖A−B‖α. Nous obtenons un résultat analogue pour les fonctions de la classe de Zygmund Λ1(R) : ‖f(A+K)−2f(A)+f(A−K)‖⩽const‖K‖, où A et K sont des opérateurs autoadjoints. Un résultat analogue est aussi vrai pour toutes les classes de Hölder–Zygmund Λα(R), α>0. Nous étudions aussi les propriétés des opérateurs f(A)−f(B) si f∈Λα(R) et A et B sont des opérateurs autoadjoints dont la différence appartient à la classe de Schatten–von Neumann Sp. Nous considérons le même problème pour les différences d'ordre arbitraire. On peut obtenir des résultats analogues pour les opérateurs unitaires et pour les contractions.

We prove that if 0<α<1 and f is in the Hölder class Λα(R), then for arbitrary selfadjoint operators A and B with bounded A−B, the operator f(A)−f(B) is bounded and ‖f(A)−f(B)‖⩽const‖A−B‖α. We prove a similar result for functions f of the Zygmund class Λ1(R): ‖f(A+K)−2f(A)+f(A−K)‖⩽const‖K‖, where A and K are selfadjoint operators. Similar results also hold for all Hölder–Zygmund classes Λα(R), α>0. We also study properties of the operators f(A)−f(B) for f∈Λα(R) and selfadjoint operators A and B such that A−B belongs to the Schatten–von Neumann class Sp. We consider the same problem for higher order differences. Similar results also hold for unitary operators and for contractions.

[1] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 1 (1966), pp. 33-67 (Russian). English transl.: Math. Topics Physics, 1, 1967, pp. 25-54 Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, New York

[2] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals. II, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 2 (1967), pp. 26-60 (Russian). English transl.: Math. Topics Physics, 2, 1968, pp. 19-46 Consultants Bureau Plenum Publishing Corporation, New York

[3] Birman, M.S.; Solomyak, M.Z. Double Stieltjes operator integrals. III, Problems of Math. Phys., Leningrad. Univ., Volume 6 (1973), pp. 27-53 (Russian)

[4] Farforovskaya, Yu.B. The connection of the Kantorovich–Rubinshtein metric for spectral resolutions of selfadjoint operators with functions of operators, Vestnik Leningrad. Univ., Volume 19 (1968), pp. 94-97 (Russian)

[5] Farforovskaya, Yu.B. An estimate of the norm of |f(B)−f(A)| for selfadjoint operators A and B, Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI), Volume 56 (1976), pp. 143-162 (Russian)

[6] Farforovskaya, Yu.B.; Nikolskaya, L. Modulus of continuity of operator functions, Algebra i Analiz, Volume 20 (2008) no. 3, pp. 224-242

[7] Kato, T. Continuity of the map S↦|S| for linear operators, Proc. Japan Acad., Volume 49 (1973), pp. 157-160

[8] Peller, V.V. Hankel operators in the theory of perturbations of unitary and self-adjoint operators, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Volume 19 (1985) no. 2, pp. 37-51 (Russian). English transl.: Funct. Anal. Appl., 19, 1985, pp. 111-123

[9] Peller, V.V. Hankel operators in the perturbation theory of unbounded self-adjoint operators, Analysis and Partial Differential Equations, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., vol. 122, Dekker, New York, 1990, pp. 529-544

[10] Peller, V.V. Hankel Operators and Their Applications, Springer-Verlag, New York, 2003

[11] Peller, V.V. Multiple operator integrals and higher operator derivatives, J. Funct. Anal., Volume 233 (2006), pp. 515-544