Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un

Cavalier, Vincent; Lehmann, Daniel

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 23-24, pp. 1283-1288.

A tout d-tissu de codimension un sur une variété holomorphe M de dimension n, (d>n), nous associons un sous-ensemble analytique S de M, qui – génériquement – a une dimension au plus égale à n−1 : on dit alors que le tissu est régulier.

Notant c(n,h) la dimension de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré h à n variables, nous montrons que le rang d'un tissu régulier a une borne supérieure π′(n,d) égale à 0 pour d<c(n,2), et à ∑h=1k0(d−c(n,h)) pour d⩾c(n,2), k0 désignant l'entier tel que c(n,k0)⩽d<c(n,k0+1). Cette borne est optimale pour les tissus réguliers. Elle est strictement inférieure à la borne π(n,d) de Chern–Castelnuovo pour n⩾3.

En outre, si d est précisément égal à c(n,k0), nous définissons une connexion holomorphe sur un certain fibré vectoriel holomorphe E de rang π′(n,d) au dessus de M∖S, tel que l'espace vectoriel des germes de relation abélienne du tissu en un point de M∖S soit isomorphe à l'espace vectoriel des germes, en ce point, de sections holomorphes de E ayant une dérivée covariante nulle : la courbure de cette connexion, qui généralise la courbure de Blaschke–Dubourdieu–Pantazi–Hénaut, est alors l'obstruction à ce que le rang du tissu atteigne la valeur π′(n,d). [Pour n=2, S est toujours vide de sorte que tout tissu est régulier, π′(2,d) est égal à π(2,d), et tout d peut s'écrire sous la forme c(2,k0) : nous retrouvons les résultats de Pantazi (1938) et de Hénaut (2004).]

¹ To any d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M (d>n), we associate an analytic subset S of M. We call regular the webs for which S has at most dimension n−1. This condition is generically satisfied.

Denoting by c(n,h) the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables, we prove that the rank of a regular web has an upper-bound π′(n,d) equal to 0 for d<c(n,2), and to ∑h=1k0(d−c(n,h)) for d⩾c(n,2), k0 denoting the integer such that c(n,k0)⩽d<c(n,k0+1). This bound π′(n,d) is optimal for regular webs. For n⩾3, it is strictly smaller than the bound π(n,d) of Chern–Castelnuovo.

Moreover, if d is precisely equal to c(n,k0), we define a holomorphic connection on some vector bundle E of rank π′(n,d) above M∖S, such that the vector space of germs of Abelian relation of the web at a point of M∖S is isomorphic to the vector space of germs at that point of holomorphic sections of E with vanishing covariant derivative: the curvature of this connection, which generalizes the curvature of Blaschke–Dubourdieu–Panzani–Hénaut, is then the obstruction for the rank of the web to reach the value π′(n,d). [When n=2, S is always empty so that any web is regular, π′(2,d)=π(2,d), any d may be written c(2,k0): we recover the results given in Pantazi (1938) and Hénaut (2004).]

[1] Cavalier, V.; Lehmann, D. Regular holomorphic webs of codimension one, 20/03/2007 | arXiv

[2] Chern, S.S. Abzählungen für Gewebe, Abh. Hamburg, Volume 11 (1936), pp. 163-170

[3] Chern, S.S.; Griffiths, P.A. Abels theorems and webs, Jahr. Deutsch Math. Ver., Volume 80 (1978), pp. 13-110 and 83 (1981) 78–83

[4] Hénaut, A. On planar web geometry through abelian relations and connections, Ann. of Math., Volume 159 (2004), pp. 425-445

[5] Hénaut, A. Systèmes différentiels, nombre de Castelnuovo, et rang des tissus de Cn, Publ. RIMS, Kyoto University, Volume 31 (1995) no. 4, pp. 703-720

[6] Pantazi, A. Sur la détermination du rang d'un tissu plan, C. R. A. Sc. Roumanie, Volume 2 (1938), pp. 108-111

[7] J.V. Pereira, L. Pirio, conversation privée

[8] Spencer, D.C. Selecta, 3, World Sci. Publishing Co, Philadelphia, 1985

[9] Trépreau, J.M. Algébrisation des tissus de codimension 1, la généralisation d'un théorème de Bol, Inspired by S.S. Chern (Griffiths, P., ed.), Nankai Tracts in Mathematics, vol. 11, World Scientific and Imperial College Press, 2006

[10] Blaschke, W.; Dubourdieu, J. Invarianten von Kurvengeweben, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Volume 6 (1928) no. 1, pp. 198-215