Équations aux dérivées partielles
Le problème infrarouge pour l'électron habillé non relativiste dans un champ magnétique
[The infrared problem for the dressed non-relativistic electron in a magnetic field]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 19-20, pp. 1045-1050.

We consider a non-relativistic electron interacting with a classical magnetic field pointing along the x3-axis and with a quantized electromagnetic field. The system is translation invariant in the x3-direction and the corresponding Hamiltonian has a decomposition HRH(P3)dP3. For a fixed momentum P3 sufficiently small, we prove that H(P3) has a ground state in the Fock representation if and only if E(P3)=0, where P3E(P3) is the derivative of the map P3E(P3)=infσ(H(P3)). If E(P3)0, we obtain the existence of a ground state in a non-Fock representation. This result holds for sufficiently small values of the coupling constant.

Nous considérons un électron non relativiste interagissant avec un champ magnétique classique dans la direction x3 et un champ électromagnétique quantifié. Le système est invariant par translation suivant x3 et l'Hamiltonien correspondant admet une décomposition HRH(P3)dP3. Pour une impulsion P3 fixée suffisamment petite, nous montrons que H(P3) possède un état fondamental dans la représentation Fock si et seulement si E(P3)=0, où P3E(P3) est la dérivée de l'application P3E(P3)=infσ(H(P3)). Lorsque E(P3)0, nous obtenons l'existence d'un état fondamental dans une représentation non équivalente à la représentation Fock. Ce résultat est valable pour des valeurs suffisamment petites de la constante de couplage.

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DOI: 10.1016/j.crma.2008.09.015
Amour, Laurent 1; Faupin, Jérémy 2; Grébert, Benoît 3; Guillot, Jean-Claude 4

1 Laboratoire de mathématiques EDPPM, FRE-CNRS 3111, Université de Reims, Moulin de la Housse, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
2 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet, Ny Munkegade, D-8000 Aarhus C, Denmark
3 Laboratoire de mathématiques Jean-Leray, UMR-CNRS 6629, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44072 Nantes cedex 3, France
4 Centre de mathématiques appliquées, UMR-CNRS 7641, École polytechnique, 99128 Palaiseau cedex, France
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