On the group of symplectic homeomorphisms

Banyaga, Augustin

doi:10.1016/j.crma.2008.06.011

Differential Geometry

On the group of symplectic homeomorphisms
[Sur le groupe des homéomorphismes symplectiques]

Présenté par : Charles-Michel Marle

Banyaga, Augustin ¹

¹ Department of Mathematics, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 15-16, pp. 867-872.

Résumé
Abstract

Soit $(M, ω)$ une variété symplectique fermée. On définit à la Hofer une métrique d sur la composante connexe de l'identité dans le groupe $Symp (M, ω)$ de tous les difféomorphismes symplectiques. Contrairement à la métrique de Hofer, la métrique d n'est pas bi-invariante. Nous montrons que la topologie métrique τ définie par d est naturelle (i.e. indépendante des choix faits pour la définir). Nous définissons la topologie symplectique comme une combinaison de la topologie τ et de la $C^{0}$ -topologie. Nous l'utilisons pour construire un sous-groupe $SSympeo (M, ω)$ du groupe $Sympeo (M, ω)$ des homéomorphismes symplectiques, qui contient le groupe $Hameo (M, ω)$ des homéomorphismes hamiltoniens (introduits par Oh et Muller). Si M est simplement connexe, $SSympeo (M, ω)$ coïncide avec $Hameo (M, ω)$ . De plus, son sous-groupe des commutateurs $[SSympeo (M, ω), SSympeo (M, ω)]$ est contenu dans $Hameo (M, ω)$ .

Let $(M, ω)$ be a closed symplectic manifold. We define a Hofer-like metric d on the identity component $Sym {(M, ω)}_{0}$ in the group $Symp (M, ω)$ of all symplectic diffeomorphisms of $(M, ω)$ . Unlike the Hofer metric on the group $Ham (M, ω)$ of Hamiltonian diffeomorphisms, the metric d is not bi-invariant. We show that the metric topology τ defined by d is natural (i.e. independent of the choice involved in its definition). We define the symplectic topology as a blend of the Hofer-like topology τ and the $C^{0}$ -topology. We use it to construct a subgroup $SSympeo (M, ω)$ of the group $Sympeo (M, ω)$ of all symplectic homeomorphisms, containing the group $Hameo (M, ω)$ of Hamiltonian homeomorphisms (introduced by Oh and Muller). If M is simply connected $SSympeo (M, ω)$ coincides with $Hameo (M, ω)$ . Moreover its commutator subgroup $[SSympeo (M, ω), SSympeo (M, ω)]$ is contained in $Hameo (M, ω)$ .

Reçu le : 2008-03-20
Accepté le : 2008-06-28
Publié le : 2008-08-01

DOI : 10.1016/j.crma.2008.06.011

Affiliations des auteurs :

Banyaga, Augustin ¹

¹ Department of Mathematics, The Pennsylvania State University, University Park, PA 16802, USA

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Banyaga, Augustin. On the group of symplectic homeomorphisms. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 15-16, pp. 867-872. doi : 10.1016/j.crma.2008.06.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.06.011/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :