Number Theory/Mathematical Analysis
The Weyl calculus and the zeta function
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 11-12, pp. 607-610.

Let G=SL(2,R) and Γ=SL(2,Z). Given a finite set S of primes including 2, and N=2pSp, one can define a set (ϖρ) of discretely supported measures on the line, parametrized by the set of squares in (Z/NZ)×, with the following properties: (i) the linear space generated by the distributions ϖρ is invariant under the metaplectic transformation Met(g˜−1) associated to any element g˜−1 of the metaplectic group lying above Γ; (ii) for every g˜ in the metaplectic group, lying above gG, set ϖρg˜=Met(g˜−1)ϖρ: then, given uS(R) with the parity determined by #S, the sum ρ|ϖρg˜,u|2 only depends on the class Γg, and the integral of this expression over Γ\G is the product of uL2(R)2 by a positive constant. Analyzing an operator A:S(R)S(R) by means of its diagonal matrix elements (ϖρg˜|Aϖρg˜) brings to light a natural spectral–theoretic role of the family of partial products of the Eulerian expansion of the zeta function.

Soient G=SL(2,R) and Γ=SL(2,Z). Étant donnés un ensemble fini S de nombres premiers comprenant 2, et N=2pSp, on peut construire un ensemble (ϖρ) de mesures à support discret sur la droite, indexé par l'ensemble des carrés dans (Z/NZ)×, avec les propriétés suivantes : (i) l'espace vectoriel engendré par les distributions ϖρ est invariant par toute transformation métaplectique Met(g˜−1) au–dessus d'un point de Γ ; (ii) pout tout g˜ appartenant au groupe métaplectique, au–dessus d'un point gG, posons ϖρg˜=Met(g˜−1)ϖρ : alors, étant donnée uS(R), de parité déterminée par le nombre #S, la somme ρ|ϖρg˜,u|2 ne dépend que de la classe Γg, et l'intégrale de cette expression au–dessus de Γ\G est le produit de uL2(R)2 par une constante positive. L'analyse d'un opérateur A:S(R)S(R) au moyen des produits scalaires (ϖρg˜|Aϖρg˜) met en évidence un rôle naturel, comme ingrédient d'une densité spectrale, joué par tout produit partiel du développement eulérien de la fonction zeta.

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DOI: 10.1016/j.crma.2008.03.020
Unterberger, André 1

1 Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
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[1] Iwaniec, H. Introduction to the spectral theory of automorphic forms, Rev. Mat. Iberoamericana, 1995

[2] Unterberger, A. Arithmetic coherent states and quantization theory, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 346 (2008) | DOI

Cited by Sources: