Number Theory/Mathematical Analysis
Arithmetic coherent states and quantization theory
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 9-10, pp. 495-498.

Let f(z)=qκm0amqm, with q=e2iπz and 0<κ1, be a holomorphic modular form of real weight τ+1,τ>1, for the group Γ=SL(2,Z) and for an arbitrary multiplier; let sτ be the distribution on the half-line such that sτ(t)=m0amδ(tmκ). Let Dτ+1 be the usual realization, in a Hilbert space Hτ+1 of functions on the half–line, of a representation from the projective discrete series of G=SL(2,R) (or the prolongation thereof in the case when 1<τ0). Then, the set of transforms sτg=Dτ+1(g−1)sτ, g describing any set of representatives of G mod Γ, can be regarded as a set of coherent states for the representation under study. Analyzing appropriate operators in Hτ+1 by means of their diagonal matrix elements against the distributions sτg brings to light, as a spectral-theoretic density, the convolution L-function L(f¯f,s). Much more can, and will, be said in a forecoming Note in the cases when τ=±12.

Soit f(z)=qκm0amqm, avec q=e2iπz et 0<κ1, une forme modulaire holomorphe f de poids réel τ+1,τ>1, pour le groupe Γ=SL(2,Z) et pour un multiplicateur arbitraire ; soit sτ la distribution sur la demi-droite telle que sτ(t)=m0amδ(tmκ). Soit Dτ+1 une représentation de la série discrète projective de G=SL(2,R) (ou du prolongement de celle-ci dans le cas où 1<τ0) réalisée, de la manière usuelle, dans un espace de Hilbert Hτ+1 de functions sur la demi-droite. Alors, l'ensemble des transformées sτg=Dτ+1(g−1)sτ, g décrivant un système de représentants de G mod Γ, peut être regardé comme une famille d'états cohérents pour la représentation considérée. L'analyse d'opérateurs appropriés dans Hτ+1 au moyen de leurs éléments de matrices diagonaux contre la famille de distributions sτg fait apparaître, comme densité spectrale, la function L(f¯f,s). Le cas où τ=±12 permet davantage et sera traité dans une Note suivante.

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DOI: 10.1016/j.crma.2008.03.018
Unterberger, André 1

1 Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
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Unterberger, André. Arithmetic coherent states and quantization theory. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 346 (2008) no. 9-10, pp. 495-498. doi : 10.1016/j.crma.2008.03.018. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.03.018/

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Cited by Sources: