Logique
Les tournois partiellement critiques
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 5-6, pp. 249-252.

Considérons un tournoi T=(S,A). À chaque partie non vide X de S est associé le sous-tournoi T(X)=(X,A(X×X)) de T induit par X. Une partie I de S est un intervalle de T si pour tous a,bI et xSI, (a,x)A si et seulement si (b,x)A. Par exemple, ∅, S et {x}, où xS, sont des intervalles de T appelés triviaux. Un tournoi est indécomposable si tous ses intervalles sont triviaux ; sinon il est décomposable. Soit T=(S,A) un tournoi indécomposable. Le tournoi T est critique si T(S{x}) est décomposable pour tout xS. Il est partiellement critique s'il existe une partie stricte X de S telle que |X|3, T(X) est indécomposable et pour tout xSX, T(S{x}) est décomposable. Les tournois critiques ont été caractérisés par Schmerl et Trotter (1993). Nous caractérisons les tournois partiellement critiques.

Given a tournament T=(V,A), with each subset X of V is associated the subtournament T(X)=(X,A(X×X)) of T induced by X. A subset I of V is an interval of T provided that for every a,bI and xVI, (a,x)A if and only if (b,x)A. For instance, ∅, V and {x}, where xS, are intervals of T called trivial. A tournament is indecomposable if all its intervals are trivial; otherwise it is decomposable. Let T=(V,A) be an indecomposable tournament. The tournament T is critical if T(S{x}) is decomposable for every xS. It is partially critical if there exists a proper subset X of V such that |X|3, T(X) is indecomposable and for every xVX, T(V{x}) is decomposable. The critical tournaments were characterized by Schmerl and Trotter (1993). We characterize the partially critical tournaments.

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DOI : 10.1016/j.crma.2008.02.002
Sayar, Mohamed Yahia 1

1 Faculté des sciences de Sfax, département de mathématiques, route de la soukra km 4, BP 802, 3018 Sfax, Tunisie
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Sayar, Mohamed Yahia. Les tournois partiellement critiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 346 (2008) no. 5-6, pp. 249-252. doi : 10.1016/j.crma.2008.02.002. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2008.02.002/

[1] A. Breiner, J. Deogun, P. Ille, Partially critical indecomposable graphs, 2006, soumis à Contributions to Discrete Mathematics

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[3] Schmerl, J.H.; Trotter, W.T. Critically indecomposable partially ordered sets, graphs, tournaments and other binary relational structures, Discrete Math., Volume 113 (1993), pp. 191-205

[4] Sumner, D.P. Graphs indecomposable with respect to the X-join, Discrete Math., Volume 6 (1973), pp. 281-298

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