New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory

Ciarlet, Philippe G.; Gratie, Liliana; Mardare, Cristinel

doi:10.1016/j.crma.2007.07.014

Differential Geometry

New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory
[De nouvelles conditions de compatibilité pour le théorème fondamental de la théorie des surfaces]

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Ciarlet, Philippe G.¹ ; Gratie, Liliana ² ; Mardare, Cristinel ³

¹ Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
² Liu Bie Ju Centre for Mathematical Sciences, City University of Hong Kong, 83, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
³ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 5, pp. 273-278.

Résumé
Abstract

Le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme classiquement que, si un champ de matrices $(a_{α β})$ symétriques définies positives d'ordre deux et un champ de matrices $(b_{α β})$ symétriques d'ordre deux satisfont ensemble les équations de Gauss et Codazzi–Mainardi dans un ouvert $ω \subset R^{2}$ connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion $θ : ω \to R^{3}$ telle que ces deux champs soient les première et deuxième formes fondamentales de la surface $θ (ω)$ , et cette surface est unique aux isométries propres de $R^{3}$ près.

Dans cette Note, nous identifions de nouvelles conditions de compatibilité, exprimées à nouveau à l'aide des fonctions $a_{α β}$ et $b_{α β}$ , qui conduisent aussi à un théorème analogue d'existence et d'unicité. Ces conditions sont de la forme

\partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1} + A_{1} A_{2} - A_{2} A_{1} = 0 dans ω,

où

A_{1}

A_{2}

sont des champs de matrices antisymétriques d'ordre trois, qui sont des fonctions des champs

(a_{α β})

(b_{α β})

, le champ

(a_{α β})

apparaissant en particulier par l'intermédiaire de sa racine carrée. L'immersion inconnue

θ : ω \to R^{3}

est trouvée dans cette approche dans des espaces fonctionnelles « de faible régularité », à savoir

W_{loc}^{2, p} (ω; R^{3})

p > 2

The fundamental theorem of surface theory classically asserts that, if a field of positive-definite symmetric matrices $(a_{α β})$ of order two and a field of symmetric matrices $(b_{α β})$ of order two together satisfy the Gauss and Codazzi–Mainardi equations in a connected and simply-connected open subset ω of $R^{2}$ , then there exists an immersion $θ : ω \to R^{3}$ such that these fields are the first and second fundamental forms of the surface $θ (ω)$ and this surface is unique up to proper isometries in $R^{3}$ .

In this Note, we identify new compatibility conditions, expressed again in terms of the functions $a_{α β}$ and $b_{α β}$ , that likewise lead to a similar existence and uniqueness theorem. These conditions take the form

\partial_{1} A_{2} - \partial_{2} A_{1} + A_{1} A_{2} - A_{2} A_{1} = 0 in ω,

where

A_{1}

and

A_{2}

are antisymmetric matrix fields of order three that are functions of the fields

(a_{α β})

and

(b_{α β})

, the field

(a_{α β})

appearing in particular through its square root. The unknown immersion

θ : ω \to R^{3}

is found in the present approach in function spaces ‘with little regularity’, viz.,

W_{loc}^{2, p} (ω; R^{3})

p > 2

Accepté le : 2007-07-18
Publié le : 2007-08-21

DOI : 10.1016/j.crma.2007.07.014

Affiliations des auteurs :

Ciarlet, Philippe G. ¹ ; Gratie, Liliana ² ; Mardare, Cristinel ³

@article{CRMATH_2007__345_5_273_0,
     author = {Ciarlet, Philippe G. and Gratie, Liliana and Mardare, Cristinel},
     title = {New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {273--278},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {345},
     number = {5},
     year = {2007},
     doi = {10.1016/j.crma.2007.07.014},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.014/}
}

TY  - JOUR
AU  - Ciarlet, Philippe G.
AU  - Gratie, Liliana
AU  - Mardare, Cristinel
TI  - New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2007
SP  - 273
EP  - 278
VL  - 345
IS  - 5
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.014/
DO  - 10.1016/j.crma.2007.07.014
LA  - en
ID  - CRMATH_2007__345_5_273_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Ciarlet, Philippe G.
%A Gratie, Liliana
%A Mardare, Cristinel
%T New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2007
%P 273-278
%V 345
%N 5
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.014/
%R 10.1016/j.crma.2007.07.014
%G en
%F CRMATH_2007__345_5_273_0

Ciarlet, Philippe G.; Gratie, Liliana; Mardare, Cristinel. New compatibility conditions for the fundamental theorem of surface theory. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 5, pp. 273-278. doi : 10.1016/j.crma.2007.07.014. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.07.014/

Bibliographie
Cité par

[1] Cartan, E. La Géométrie des Espaces de Riemann, Mémorial des Sciences Mathématiques, Fasc. 9, Gauthier-Villars, Paris, 1925

[2] Ciarlet, P.G. An Introduction to Differential Geometry with Applications to Elasticity, Springer, Dordrecht, 2005

[3] P.G. Ciarlet, L. Gratie, C. Mardare, A new approach to the fundamental theorem of surface theory, in preparation

[4] Ciarlet, P.G.; Gratie, L.; Iosifescu, O.; Mardare, C.; Vallée, C. Another approach to the fundamental theorem of Riemannian geometry in $R^{3}$ , by way of rotation fields, J. Math. Pures Appl., Volume 87 (2007), pp. 237-252

[5] Ciarlet, P.G.; Larsonneur, F. On the recovery of a surface with prescribed first and second fundamental forms, J. Math. Pures Appl., Volume 81 (2001), pp. 167-185

[6] Ciarlet, P.G.; Mardare, C. On rigid and infinitesimal rigid displacements in shell theory, J. Math. Pures Appl., Volume 83 (2004), pp. 1-15

[7] Hartman, P.; Wintner, A. On the embedding problem in differential geometry, Amer. J. Math., Volume 72 (1950), pp. 553-564

[8] Janet, M. Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans un espace euclidien, Ann. Soc. Polon. Math., Volume 5 (1926), pp. 38-43

[9] Mardare, S. The fundamental theorem of surface theory for surfaces with little regularity, J. Elasticity, Volume 73 (2003), pp. 251-290

[10] Mardare, S. On Pfaff systems with $L^{p}$ coefficients and their applications in differential geometry, J. Math. Pures Appl., Volume 84 (2005), pp. 1659-1692

[11] Mardare, S. On systems of first order linear partial differential equations with $L^{p}$ coefficients, Adv. Differential Equations, Volume 73 (2007), pp. 301-360

[12] Shield, R.T. The rotation associated with large strains, SIAM J. Appl. Math., Volume 25 (1973), pp. 483-491

[13] Vallée, C.; Fortuné, D. Compatibility equations in shell theory, Internat. J. Engrg. Sci., Volume 34 (1996), pp. 495-499

Cité par Sources :