Une structure S de type fini est dite QFA (pour quasi finiment axiomatisable, voir [A. Nies, Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput. 13 (2003) 287–302]) s'il existe un énoncé du premier ordre satisfait par S telle que toute structure de type fini qui la satisfait est isomorphe à S. Nous montrons que toute structure bi-interprétable avec l'anneau des entiers est QFA et première. Nous appliquons ce résultat d'une part à certains groupes métabéliens et d'autre part aux anneaux commutatifs.
A finitely generated structure is said to be QFA (for quasi-finitely axiomatizable, see [A. Nies, Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput. 13 (2003) 287–302]) if there exists a first order sentence satisfied by S such that every finitely generated structure satisfying it is isomorphic to S. We prove that every structure which is bi-interprétable with the ring of integers is QFA and prime. We apply this result on the one hand to some metabelian groups and on the other, to commutative rings.
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TY - JOUR AU - Khelif, Anatole TI - Bi-interprétabilité et structures QFA : étude de groupes résolubles et des anneaux commutatifs JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2007 SP - 59 EP - 61 VL - 345 IS - 2 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.06.003/ DO - 10.1016/j.crma.2007.06.003 LA - fr ID - CRMATH_2007__345_2_59_0 ER -
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Khelif, Anatole. Bi-interprétabilité et structures QFA : étude de groupes résolubles et des anneaux commutatifs. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 2, pp. 59-61. doi : 10.1016/j.crma.2007.06.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.06.003/
[1] Model theory of unitriangular groups, Amer. Math. Soc. Transl., vol. 195, 1999, pp. 1-116
[2] Model Theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, 1993
[3] Separating classes of groups by first order sentences, Internat. J. Algebra Comput., Volume 13 (2003), pp. 287-302
[4] A. Nies, Describing groups, Bull. Symb. Logic, à paraître
[5] F. Oger, Some new examples of quasi-finitely axiomatizable groups which are prime models, Preprint
[6] On some elementary properties of soluble groups of derived length 2, Sib. Math. J., Volume 44 (2003) no. 2, pp. 350-354
[7] T. Scanlon, Infinite finitely generated fields are biinterpretable with N, Preprint
Cité par Sources :
