Dans cette Note, nous présentons l'énoncé et les principales idées de la démonstration d'un théorème de convexité réel pour les applications moment à valeurs dans un groupe de Lie. Ce résultat est un analogue quasi-hamiltonien du théorème de O'Shea et Sjamaar dans le cadre hamiltonien usuel. On démontre que l'image par l'application moment du lieu des points fixes d'une involution renversant la 2-forme de structure d'un espace quasi-hamiltonien est un polytope convexe, et l'on décrit ce polytope comme sous-polytope du polytope moment.
In this Note, we state and give the main ideas of the proof of a real convexity theorem for group-valued momentum maps. This result is a quasi-Hamiltonian analogue of the O'Shea–Sjamaar theorem in the usual Hamiltonian setting. We prove here that the image under the momentum map of the fixed-point set of a form-reversing involution defined on a quasi-Hamiltonian space is a convex polytope, that we describe as a subpolytope of the momentum polytope.
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Schaffhauser, Florent. Un théorème de convexité réel pour les applications moment à valeurs dans un groupe de Lie. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 1, pp. 25-30. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.023. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.023/
[1] Lie group valued moment maps, J. Differential Geom., Volume 48 (1998) no. 3, pp. 445-495
[2] Convexity and commuting Hamiltonians, Bull. London Math. Soc., Volume 14 (1982) no. 1, pp. 1-15
[3] Actions symplectiques de groupes compacts, Geom. Dedicata, Volume 89 (2002), pp. 182-245
[4] Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 9. Groupes de Lie réels compacts, Masson, 1982
[5] Géométrie du moment, Travaux du séminaire Sud-Rhodanien de géométrie, vol. I, Université Claude Bernard, Lyon, 1988, pp. 131-160
[6] Convexity and tightness for restrictions of Hamiltonian functions to fixed point sets of an antisymplectic involution, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 275 (1983) no. 1, pp. 417-429
[7] Convexity properties of the moment mapping, Invent. Math., Volume 67 (1982) no. 3, pp. 491-513
[8] Convexity properties of the moment mapping ii, Invent. Math., Volume 77 (1984) no. 3, pp. 533-546
[9] Symplectic convexity theorems and coadjoint orbits, Compositio Math., Volume 94 (1994) no. 2, pp. 129-180
[10] Convexity properties of the moment mapping iii, Invent. Math., Volume 77 (1984) no. 3, pp. 547-552
[11] Symmetric Spaces, II: Compact Spaces and Classification, W.A. Benjamin, Inc., 1969
[12] Hamiltonian loop group actions and Verlinde factorization, J. Differential Geom., Volume 50 (1998) no. 3, pp. 417-469
[13] Moment maps and Riemannian symmetric pairs, Math. Ann., Volume 317 (2000) no. 3, pp. 415-457
[14] F. Schaffhauser, A real convexity theorem for quasi-hamiltonian actions, 25 pages, submitted for publication, arXiv: 0705.0858
[15] Convexity properties of the moment mapping re-examined, Adv. Math., Volume 138 (1998) no. 1, pp. 46-91
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