Quelques approximations du temps local brownien

Bergery, Blandine Bérard; Vallois, Pierre

doi:10.1016/j.crma.2007.05.007

Probabilités

Quelques approximations du temps local brownien

Présenté par : Marc Yor

Bergery, Blandine Bérard ¹ ; Vallois, Pierre ¹

¹ Université Henri-Poincaré, institut de mathématiques Elie-Cartan, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 1, pp. 45-48.

Résumé
Abstract

On définit plusieurs approximations du processus des temps locaux ${(L_{t}^{x})}_{t ⩾ 0}$ au niveau x du mouvement brownien réel $(X_{t})$ . En particulier, on montre que $\frac{2}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{(u + ϵ) \land t}^{+} 1_{{X_{u} ⩽ 0}} d u + \frac{2}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{(u + ϵ) \land t}^{-} 1_{{X_{u} > 0}} d u$ et $\frac{4}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{u}^{-} 1_{{X_{(u + ϵ) \land t} > 0}} d u$ convergent au sens ucp vers $L_{t}^{0}$ , lorsque $ϵ \to 0$ . D'autre part, on montre que $\frac{1}{ϵ} \int_{0}^{t} (1_{{x < X_{s + ϵ}}} - 1_{{x < X_{s}}}) (X_{s + ϵ} - X_{s}) d s$ converge vers $L_{t}^{x}$ dans $L^{2} (Ω)$ et que la vitesse de convergence est d'ordre $ϵ^{α}$ , pour tout $α < \frac{1}{4}$ .

We give some approximations of the local time process ${(L_{t}^{x})}_{t ⩾ 0}$ at level x of the real Brownian motion $(X_{t})$ . We prove that $\frac{2}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{(u + ϵ) \land t}^{+} 1_{{X_{u} ⩽ 0}} d u + \frac{2}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{(u + ϵ) \land t}^{-} 1_{{X_{u} > 0}} d u$ and $\frac{4}{ϵ} \int_{0}^{t} X_{u}^{-} 1_{{X_{(u + ϵ) \land t} > 0}} d u$ converge in the ucp sense to $L_{t}^{0}$ , as $ϵ \to 0$ . We show that $\frac{1}{ϵ} \int_{0}^{t} (1_{{x < X_{s + ϵ}}} - 1_{{x < X_{s}}}) (X_{s + ϵ} - X_{s}) d s$ goes to $L_{t}^{x}$ in $L^{2} (Ω)$ as $ϵ \to 0$ , and that the rate of convergence is of order $ϵ^{α}$ , for any $α < \frac{1}{4}$ .

Reçu le : 2006-08-30
Accepté le : 2007-05-04
Publié le : 2007-06-21

DOI : 10.1016/j.crma.2007.05.007

Affiliations des auteurs :

Bergery, Blandine Bérard ¹ ; Vallois, Pierre ¹

¹ Université Henri-Poincaré, institut de mathématiques Elie-Cartan, B.P. 239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy cedex, France

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Bergery, Blandine Bérard; Vallois, Pierre. Quelques approximations du temps local brownien. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 345 (2007) no. 1, pp. 45-48. doi : 10.1016/j.crma.2007.05.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2007.05.007/

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