Analyse numérique
Dérivation de schémas numériques symplectiques pour des systèmes hamiltoniens hautement oscillants
[Derivation of symplectic numerical schemes for highly oscillatory Hamiltonian systems]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 4, pp. 277-282.

We introduce here a class of symplectic schemes for the numerical integration of highly oscillatory Hamiltonian systems. The bottom line for the approach is to exploit the Hamilton–Jacobi form of the equations of motion. Because we perform a two-scale expansion of the solution of the Hamilton–Jacobi equations itself, we readily obtain, after an appropriate discretization, a symplectic integration scheme. An example of such an integration scheme, following the general approach, is presented here on a specific commonly used test case. The efficiency of the approach is demonstrated. Further developments will be presented elsewhere.

On introduit ici une classe de schémas symplectiques pour l'intégration numérique de systèmes hamiltoniens hautement oscillants. L'approche est basée sur la formulation Hamilton–Jacobi des équations du mouvement. En appliquant un développement à deux échelles à la solution des équations de Hamilton–Jacobi elle-même, on obtient ainsi, via la fonction génératrice, une classe de schémas symplectiques par construction. Un exemple de schéma ainsi construit est présenté ici sur un cas test habituel de système hautement oscillant, démontrant l'efficacité de l'approche. La dérivation d'autres schémas, et leurs tests dans des situations plus générales, feront l'objet d'une autre publication.

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DOI: 10.1016/j.crma.2006.12.012
Le Bris, Claude 1, 2; Legoll, Frédéric 3, 2

1 CERMICS, École nationale des ponts et chaussées, 77455 Marne-La-Vallée cedex 2, France
2 INRIA Rocquencourt, MICMAC project, domaine de Voluceau, B.P. 105, 78153 Le Chesnay cedex, France
3 LAMI, École nationale des ponts et chaussées, 77455 Marne-La-Vallée cedex 2, France
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Le Bris, Claude; Legoll, Frédéric. Dérivation de schémas numériques symplectiques pour des systèmes hamiltoniens hautement oscillants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 344 (2007) no. 4, pp. 277-282. doi : 10.1016/j.crma.2006.12.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.12.012/

[1] Bornemann, F.; Schuette, C. Homogenization of hamiltonian systems with a strong constraining potential, Phys. D, Volume 102 (1997), pp. 57-77

[2] F. Castella, Ph. Chartier, E. Faou, en préparation

[3] F. Castella, Ph. Chartier, E. Faou, C. Le Bris, F. Legoll, A. Murua, travaux en cours

[4] Feng, K. Difference schemes for Hamiltonian formalism and symplectic geometry, J. Comp. Math., Volume 4 (1986), pp. 279-289

[5] Grimm, V.; Hochbruck, M. Error analysis of exponential integrators for oscillatory second-order differential equations, J. Phys. A, Volume 39 (2006), pp. 5495-5507

[6] Grubmüller, H.; Heller, H.; Windemuth, A.; Schulten, K. Generalized Verlet algorithm for efficient molecular dynamics simulations with long range interaction, Molecular Simulation, Volume 6 (1991) no. 1–3, pp. 121-142

[7] Hairer, E.; Lubich, C.; Wanner, G. Geometric Numerical Integration, Springer, 2006

[8] Tuckermann, M.E.; Berne, B.J.; Martyna, G.J. Reversible multiple time scale molecular dynamics, J. Chem. Phys., Volume 97 (1992), pp. 1990-2001

Cited by Sources:

Les auteurs ont bénéficié du support financier du Ministère de la recherche et des nouvelles technologies, dans le cadre de l'action « Nouvelles interfaces des mathématiques » SIMUMOL, et de l'Agence nationale de la recherche, programme non thématique INGEMOL. Ils remercient Philippe Chartier pour ses commentaires dans l'élaboration de ce texte.