Sur la régularité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine périodique de faible épaisseur

Kukavica, Igor; Ziane, Mohammed

doi:10.1016/j.crma.2006.11.019

Équations aux dérivées partielles/Problèmes mathématiques de la mécanique

Sur la régularité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine périodique de faible épaisseur

Présenté par : Philippe G. Ciarlet

Kukavica, Igor ¹ ; Ziane, Mohammed ¹

¹ Department of Mathematics, University of Southern California, Los Angeles, CA, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 2, pp. 97-102.

Résumé
Abstract

Dans cette Note, nous étudions la régularité globale des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine de faible épaisseur $Ω = [0, L_{1}] \times [0, L_{2}] \times [0, ϵ]$ avec des conditions aux limites périodiques. Nous montrons que si $‖ \nabla u_{0} ‖_{L^{2} (Ω)} ⩽ C (L_{1}, L_{2}, δ) / ϵ^{1 / 2 - δ}$ , où $u_{0}$ est la donnée initiale et $δ > 0$ est arbitraire, alors il existe une solution régulière globale avec la donnée initiale $u_{0}$ . Cette condition améliore les résultats existants, en particulier la moyenne de la vitesse initiale dans la direction de l'épaisseur faible n'est pas supposée petite quand l'épaisseur est petite.

In this Note, we study the global regularity of solutions of the Navier–Stokes equations in a thin domain $Ω = [0, L_{1}] \times [0, L_{2}] \times [0, ϵ]$ with periodic boundary conditions. We prove that if $‖ \nabla u_{0} ‖_{L^{2} (Ω)} ⩽ C (L_{1}, L_{2}, δ) / ϵ^{1 / 2 - δ}$ where $u_{0}$ is the initial datum and $δ > 0$ is arbitrary, then there exists a unique global smooth solution with the initial datum $u_{0}$ . This condition improves on the existing results, in particular, the average in the thin direction of the initial velocity is not necessarily small when the thickness is small.

Reçu le : 2006-07-23
Accepté le : 2006-11-02
Publié le : 2006-12-18

DOI : 10.1016/j.crma.2006.11.019

Affiliations des auteurs :

Kukavica, Igor ¹ ; Ziane, Mohammed ¹

¹ Department of Mathematics, University of Southern California, Los Angeles, CA, USA

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TI  - Sur la régularité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine périodique de faible épaisseur
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Kukavica, Igor; Ziane, Mohammed. Sur la régularité des solutions des équations de Navier–Stokes dans un domaine périodique de faible épaisseur. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 344 (2007) no. 2, pp. 97-102. doi : 10.1016/j.crma.2006.11.019. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.11.019/

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