Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien

Blanke, Delphine; Vial, Céline

doi:10.1016/j.crma.2006.10.012

Statistique

Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien

Présenté par : Paul Deheuvels

Blanke, Delphine ¹ ; Vial, Céline ^2,³

¹ Université Pierre et Marie Curie-Paris 6, L.S.T.A., 175, rue du Chevaleret, 8ème étage, bâtiment A, 75013 Paris, France
² Université Paris 10, Modal'X, bâtiment G, 200, avenue de la République, 92000 Nanterre, France
³ Université Pierre et Marie Curie-Paris 6, L.P.M.A., 175, rue du Chevaleret, 4ème étage, bâtiment D, 75013 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 10, pp. 661-664.

Résumé
Abstract

Nous considérons un processus Gaussien réel, X, de régularité inconnue $r_{0} \in N$ au sens où la dérivée d'ordre $r_{0}$ en moyenne quadratique, notée $X^{(r_{0})}$ , est supposée hölderienne. Dans un premier temps, à partir des observations discrétisées $X (t_{1}), \dots, X (t_{n})$ , on étudie la reconstruction de $X (t)$ , $t \in [0, 1]$ , par ${\tilde{X}}_{r} (t)$ où ${\tilde{X}}_{r} (t)$ est un polynôme d'interpolation par morceaux, de degré $r ⩾ 1$ . On montre que l'erreur quadratique d'interpolation $E (X (t) - {\tilde{X}}_{r} {(t))}^{2}$ décroît quand r augmente mais qu'elle se stabilise dès que r dépasse $r_{0}$ . On construit ainsi un estimateur $\hat{r}$ du paramètre $r_{0}$ grâce à un critère empirique basé sur cette erreur d'interpolation. On établit la convergence presque sûre de $\hat{r}$ vers $r_{0}$ via une inégalité exponentielle pour $P (\hat{r} \neq r_{0})$ . Finalement, on montre que ${\tilde{X}}_{\hat{r}} (t)$ converge presque sûrement vers $X (t)$ avec une vitesse comparable au cas où $r_{0}$ est connu.

We consider a real Gaussian process X with unknown smoothness $r_{0} \in N$ where the mean-square derivative $X^{(r_{0})}$ is supposed to be Hölder continuous in quadratic mean. First, from the discrete observations $X (t_{1}), \dots, X (t_{n})$ , we study reconstruction of $X (t)$ , $t \in [0, 1]$ , with ${\tilde{X}}_{r} (t)$ , a piecewise polynomial interpolation of degree $r ⩾ 1$ . We show that the mean-square error of interpolation is a decreasing function of r but becomes stable as soon as $r ⩾ r_{0}$ . Next, from an interpolation-based empirical criterion, we derive an estimator $\hat{r}$ of $r_{0}$ and prove its strong consistency by giving an exponential inequality for $P (\hat{r} \neq r_{0})$ . Finally, we prove the strong convergence of ${\tilde{X}}_{\hat{r}} (t)$ toward $X (t)$ with a similar rate as in the case ‘ $r_{0}$ known’.

Reçu le : 2006-06-11
Accepté le : 2006-10-10
Publié le : 2006-11-14

DOI : 10.1016/j.crma.2006.10.012

Affiliations des auteurs :

Blanke, Delphine ¹ ; Vial, Céline ^{2, 3}

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Blanke, Delphine; Vial, Céline. Estimation du nombre de dérivées d'un processus Gaussien. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 10, pp. 661-664. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.10.012/

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