Nous montrons que chaque fonction convexe f définie sur la droite réelle ou un intervalle réel peut être approximée dans la norme par la fonction génératrice des cumulants d'une mésure non-négative avec une erreur bornée par une constante absolue, qui ne dépend pas de f. Nous fournissons des bornes supérieures et inférieures sur la meilleure de telles constantes, notamment et . La déduction de ces bornes est constructive. Nous montrons également que dans le cas multi-dimensionnel l'erreur de l'approximation n'est pas bornée.
In this Note we show that any convex function f on the real line or an interval thereof can be approximated in the norm by the cumulant generating function of a non-negative measure with an error bounded by an absolute constant which does not depend on f. We give upper and lower bounds on the best of such constants, which equal and , respectively. The proofs for these bounds are constructive. We also show that the approximation error in the multi-dimensional case is not bounded.
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TY - JOUR AU - Hildebrand, Roland TI - Sur l'approximation des fonctions convexes par les fonctions génératrices des cumulants JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2006 SP - 545 EP - 550 VL - 343 IS - 8 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.09.008/ DO - 10.1016/j.crma.2006.09.008 LA - fr ID - CRMATH_2006__343_8_545_0 ER -
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Hildebrand, Roland. Sur l'approximation des fonctions convexes par les fonctions génératrices des cumulants. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 343 (2006) no. 8, pp. 545-550. doi : 10.1016/j.crma.2006.09.008. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.09.008/
[1] Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York, 1964
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[4] Large Deviations Techniques and Applications, Springer, New York, 1998
[5] E.W. Weisstein, Cumulant-generating function, From MathWorld – A Wolfram Web Resource
[6] The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, vol. 6, Princeton University Press, Princeton, 1946
Cité par Sources :
⁎ This paper presents research results of the Belgian Programme on Interuniversity Poles of Attraction, Phase V, initiated by the Belgian State, Prime Minister's Office for Science, Technology and Culture, and of the Action Concertée Incitative ‘Masses de données’ of CNRS, France. The scientific responsibility rests with its author.
