no. 11
Differential Geometry
Vector fields dynamics as geodesic motion on Lie groups
[Dynamique des champs vectoriels comme mouvement géodésique des groupes de Lie]

Présenté par : Étienne Ghys

Pripoae, Gabriel Teodor1
1 University of Bucharest, Faculty of Mathematics and Informatics, 14 Academiei St., Bucharest, Romania
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 11, pp. 865-868.

On étudie les conditions pour que les champs de vecteurs sur les groupes de Lie devienent des champs géodésiques. Pour un champ de vecteurs invariant à gauche, donné sur un groupe de Lie, on prouve qu'il existe une métrique riemannienne dont les géodésiques en sont les trajectoires. Dans le cas des métriques invariantes, on met en évidence certaines differences entre le cas riemannien et celui lorentzien, codées par des propriétés de l'algèbre de Lie.

We study to what extent vector fields on Lie groups may be considered as geodesic fields. For a given left invariant vector field on a Lie group, we prove there exists a Riemannian metric whose geodesics are its trajectories. When we consider left invariant metrics, differences between the Riemannian and the Lorentzian cases appear, coded by properties of the Lie algebra.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crma.2006.04.009
Pripoae, Gabriel Teodor 1

1 University of Bucharest, Faculty of Mathematics and Informatics, 14 Academiei St., Bucharest, Romania 
@article{CRMATH_2006__342_11_865_0,
     author = {Pripoae, Gabriel Teodor},
     title = {Vector fields dynamics as geodesic motion on {Lie} groups},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {865--868},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {342},
     number = {11},
     year = {2006},
     doi = {10.1016/j.crma.2006.04.009},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.04.009/}
}
TY  - JOUR
AU  - Pripoae, Gabriel Teodor
TI  - Vector fields dynamics as geodesic motion on Lie groups
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2006
SP  - 865
EP  - 868
VL  - 342
IS  - 11
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.04.009/
DO  - 10.1016/j.crma.2006.04.009
LA  - en
ID  - CRMATH_2006__342_11_865_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Pripoae, Gabriel Teodor
%T Vector fields dynamics as geodesic motion on Lie groups
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2006
%P 865-868
%V 342
%N 11
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.04.009/
%R 10.1016/j.crma.2006.04.009
%G en
%F CRMATH_2006__342_11_865_0
Pripoae, Gabriel Teodor. Vector fields dynamics as geodesic motion on Lie groups. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 11, pp. 865-868. doi : 10.1016/j.crma.2006.04.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.04.009/

[1] Arnold, V. Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits, Ann. Inst. Fourier, Volume 16 (1966), pp. 316-361

[2] Bromberg, A.S.; Medina, B.A. Geometry of oscillator groups and locally symmetric manifolds, Geom. Dedicata, Volume 106 (2004), pp. 97-111

[3] Khesin, B. Topological fluid dynamics, Notices Amer. Math. Soc., Volume 52 (2005) no. 1, pp. 9-19

[4] Milnor, J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups, Adv. Math., Volume 21 (1976), pp. 293-329

[5] O'Neill, B. Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, NY, 1983

[6] Onishchik, A.L.; Vinberg, E.B. Lie Groups and Lie Algebras III, Encyclopaedia Math. Sci., vol. 41, Springer, 1994

[7] Postnikov, M. Lie Groups and Lie Algebras, Mir Publ., 1986

Cité par Sources :