Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications

Nivoche, Stéphanie

doi:10.1016/j.crma.2006.03.023

Analyse complexe

Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Nivoche, Stéphanie ¹

¹ Université Paul-Sabatier, U.F.R. MIG, Laboratoire de Mathématiques E. Picard, C.N.R.S. U.M.R. 5580, 31062 Toulouse Cedex 9, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 11, pp. 825-830.

Résumé
Abstract

Nous généralisons dans $C^{n}$ le théorème de Hilbert sur les Lemniscates. Plus précisemment, tout compact K polynomialement convexe dans $C^{n}$ est approchable par des polyhèdres polynomiaux spéciaux $P$ définis par des applications polynomiales propres de $C^{n}$ dans $C^{n}$ ayant « presque » tous leurs zéros dans $P$ . Dans le cas particulier où K est disqué, on peut trouver une application polynomiale « presque » homogène avec un zéro en l'origine de multiplicité « presque » égale au degré. Une première conséquence de cette généralisation est une version précise du théorème de Runge dans $C^{n}$ . Une seconde application est l'approximation uniforme dans $C^{n}$ , de la fonction de Green pluricomplexe avec pôle à l'infini associée à un compact $K L$ -régulier, par des fonctions maximales de $L^{+}$ à pôles logarithmiques isolés.

We generalize in $C^{n}$ Hilbert Lemniscate Theorem. More precisely, any polynomially convex compact subset K in $C^{n}$ can be approximated externally by special polynomial polyhedra $P$ defined by proper polynomial mappings from $C^{n}$ to $C^{n}$ with ‘almost’ all their zeros in $P$ . In the particular case where K is balanced, we can choose the polynomial mapping ‘almost’ homogeneous with a zero at the origin of multiplicity ‘almost’ equal to the degree. A first consequence of this generalization is a precise version of Runge's theorem in $C^{n}$ . A second application is an uniform approximation in $C^{n}$ , of the pluricomplex Green function with pole at infinity for a $L$ -regular compact set K, by maximal plurisubharmonic functions in $L^{+}$ with isolated logarithmic poles.

Reçu le : 2006-01-13
Accepté le : 2006-03-14
Publié le : 2006-05-03

DOI : 10.1016/j.crma.2006.03.023

Affiliations des auteurs :

Nivoche, Stéphanie ¹

¹ Université Paul-Sabatier, U.F.R. MIG, Laboratoire de Mathématiques E. Picard, C.N.R.S. U.M.R. 5580, 31062 Toulouse Cedex 9, France

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Nivoche, Stéphanie. Convexité polynomiale, polyhèdres polynomiaux spéciaux et applications. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 11, pp. 825-830. doi : 10.1016/j.crma.2006.03.023. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2006.03.023/

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