Dans cette Note, suivant les idées originales de Fantappiè ([L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d'intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956. [2]], [F. Pellegrino, Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle, P. Levy (Ed.), Gauthier-Villars, Paris, 1951, pp. 357–484. [7]]), nous faisons un lien entre les problèmes de Cauchy, les fonctionnelles analytiques et le calcul fonctionnel. En particulier, utilisant les formules de représentation intégrale classiques de l'analyse complexe, nous obtenons une formule de représentation intégrale explicite des solutions de problèmes de Cauchy complexes. Enfin, les développements récents de l'analyse convexe complexe d'Andersson–Passare–Sigurdsson nous permettent d'obtenir un domaine de définition de la solution si les données de Cauchy sont définies dans un ensemble -convexe.
In this Note, following ideas first initiated by Fantappiè ([L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d'intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956. [2]], [F. Pellegrino, Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle, P. Levy (Ed.), Gauthier-Villars, Paris, 1951, pp. 357–484. [7]]), we make a link between Cauchy problems, analytic functionals and functional calculus. In particular, using classical representation formulas from complex analysis, we obtain an integral representation formula for solutions to complex Cauchy problems. Moreover, recent developments in complex convex analysis of Andersson–Passare–Sigurdsson allow us to obtain a domain of definition of the solution if Cauchy data are defined in a -convex domain.
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Rigat, Stéphane. Fonctionnelles analytiques et problèmes de Cauchy. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 5, pp. 295-300. doi : 10.1016/j.crma.2005.12.026. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.12.026/
[1] Complex convexity and Analytic Functionals, Birkhäuser, 2004
[2] L. Fantappiè, Sur les méthodes nouvelles d'intégration des équations aux dérivées partielles au moyen des fonctionnelles analytiques, in : La théorie des équations aux dérivées partielles, vol. 81, Coll. Int. CNRS, Nancy, 9–15 avril 1956
[3] The method of integral representations in complex analysis (Vitushkin, A.G., ed.), Several Complex Variables I, Encyclopaedia Math. Sci., vol. 7, Springer-Verlag, Berlin, 1990
[4] Notions of Convexity, Progr. Math., vol. 127, Birkhäuser, 1994
[5] Plane Waves and Spherical Means Applied to Partial Differential Equations, Interscience, New York, 1955
[6] Prolongement des solutions d'une équation aux dérivées partielles à coefficients constants, Bull. Soc. Math. France, Volume 97 (1969), pp. 329-356
[7] Problèmes concrets d'analyse fonctionnelle (Levy, P., ed.), Gauthier-Villars, Paris, 1951, pp. 357-484
[8] Differential Equations on Complex Manifolds, Math. Appl., Kluwer Academic Press, 1994
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