Soit Γ une matrice , ayant pour coefficients des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) vérifiant une décroissance sous-gaussienne des queues. Dans ce travail, nous obtenons des minorations de type polynomial des valeurs singulières de Γ, valables avec une probabilité proche de 1. Nous montrons aussi que si A est une matrice avec , dont les coefficients sont des variables aléatoires sous-gaussiennes i.i.d., alors l'espace vérifie avec une grande probablilité les conditions du théorème de Kashin, c'est à dire les normes et sont équivalentes sur E. De plus la distance entre ces normes dépend polynomialement de .
Let Γ be an matrix, whose entries are independent identically distributed (i.i.d.) random variables satisfying the subgaussian tail estimate. We obtain polynomial type lower estimates of the singular numbers of Γ, which hold with probability close to 1. We also show that if A is an matrix with , whose entries are i.i.d. subgaussian random variables, then with high probability the space satisfies the conditions of Kashin's theorem, i.e. the and norms are equivalent on E. Moreover the distance between these norms polynomially depends on .
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2006__342_4_247_0, author = {Rudelson, Mark}, title = {Lower estimates for the singular values of random matrices}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {247--252}, publisher = {Elsevier}, volume = {342}, number = {4}, year = {2006}, doi = {10.1016/j.crma.2005.11.013}, language = {en}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.11.013/} }
TY - JOUR AU - Rudelson, Mark TI - Lower estimates for the singular values of random matrices JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2006 SP - 247 EP - 252 VL - 342 IS - 4 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.11.013/ DO - 10.1016/j.crma.2005.11.013 LA - en ID - CRMATH_2006__342_4_247_0 ER -
Rudelson, Mark. Lower estimates for the singular values of random matrices. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 342 (2006) no. 4, pp. 247-252. doi : 10.1016/j.crma.2005.11.013. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.11.013/
[1] S. Artstein, O. Friedland, V. Milman, Large sections of spanned by random sign-vectors are isomorphic to Euclidean with polynomial dependence, Preprint
[2] Limit of the smallest eigenvalue of a large-dimensional sample covariance matrix, Ann. Probab., Volume 21 (1993) no. 3, pp. 1275-1294
[3] Local operator theory, random matrices and Banach spaces, Handbook of the Geometry of Banach Spaces, vol. I, North-Holland, Amsterdam, 2001, pp. 317-366
[4] The widths of a Euclidean ball, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 277 (1984), pp. 1048-1052 (in Russian). English translation Soviet Math. Dokl., 30, 1984, pp. 200-204
[5] The widths of certain finite-dimensional sets and classes of smooth functions, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Volume 41 (1977), pp. 334-351 (in Russian)
[6] Smallest singular value of random matrices and geometry of random polytopes, Adv. Math., Volume 195 (2005) no. 2, pp. 491-523
[7] Random Euclidean embeddings in spaces of bounded volume ratio, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 339 (2004), pp. 33-38
[8] A.E. Litvak, A. Pajor, M. Rudelson, N. Tomczak-Jaegermann, R. Vershynin, Euclidean embeddings in spaces of finite volume ratio via random matrices, J. Reine Angew. Math., in press
[9] M. Rudelson, Invertibility of random matrices: norm of the inverse, Preprint
Cité par Sources :