Analyse mathématique
Analyse anaplectique sur la droite réelle
[Anaplectic analysis on the real line]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 93-97.

The two irreducible summands of the metaplectic representation in L2(R) occur for one in the discrete series of the twofold cover of the group G=SL(2,R), for the other in the continuation of this series. Starting instead from the complementary series of the universal cover of G, one can associate with every real number ν mod 2 a new ‘analysis’ on the real line. The space Aν that substitutes for L2(R) consists of functions extending as entire functions of one variable. Once the proper notion of integral on the real line has been introduced, one easily defines a concept of Fourier transformation and a new ‘ν-anaplectic’ representation: the latter combines in the usual way with the Heisenberg representation, and both representations are pseudo-unitary with respect to some ν-dependent scalar product. The spectrum of the harmonic oscillator in the space Aν is the set ν+12+Z.

On sait que la représentation métaplectique dans L2(R) se décompose comme la somme de deux termes figurant l'un dans la série discrète holomorphe du revêtement d'ordre deux du groupe G=SL(2,R), l'autre dans un prolongement de cette série. Partant plutôt de la série complémentaire des représentations unitaires du revêtement universel de G, on parvient, pour tout nombre réel ν mod 2, νZ, à la construction d'une « analyse » nouvelle sur la droite réelle. L'espace Aν qui remplace L2(R) est un espace de fonctions se prolongeant en des fonctions entières. La notion d'intégrale sur la droite une fois convenablement modifiée, la transformation de Fourier et la représentation « ν-anaplectique » se définissent sans difficulté, et se combinent de la façon usuelle avec la représentation d'Heisenberg ; les représentations considérées sont pseudo-unitaires par rapport à un même produit scalaire. Les valeurs propres de l'oscillateur harmonique dans l'espace Aν constituent la suite arithmétique ν+12+Z.

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DOI: 10.1016/j.crma.2005.11.009
Unterberger, André 1

1 Département de mathématiques, UMR 6056, université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France
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Unterberger, André. Analyse anaplectique sur la droite réelle. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 342 (2006) no. 2, pp. 93-97. doi : 10.1016/j.crma.2005.11.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.11.009/

[1] Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Soni, R.P. Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1966

[2] Pukanszky, L. The Plancherel formula for the universal covering group of SL(R,2), Math. Ann., Volume 156 (1964), pp. 96-143

[3] A. Unterberger, The fourfold way in real analysis, and an alternative to the metaplectic representation, à paraître chez Birkhäuser

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