no. 5
Probability Theory
Improving Monte Carlo simulations by Dirichlet forms
[Amélioration de simulations Monte Carlo par des formes de Dirichlet]

Présenté par : Paul Malliavin

Bouleau, Nicolas1
1 ENPC, ParisTech, 51, rue Gerard, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 5, pp. 303-306.

Nous montrons que, dans les situations où l'espace de probabilité est équipé d'une forme de Dirichlet locale avec carré du champ Γ et générateur A, la possibilité de simuler une variable aléatoire X ainsi que Γ[X] et A[X] permet d'accélérer le calcul de l'espérance de X et de sa densité. Nous donnons des exemples dans les cas de l'espace de Wiener, de l'espace de Poisson et de l'espace de Monte Carlo. Lorsque X est à valeurs réelles nous donnons une formule explicite permettant d'obtenir la densité à la vitesse de la loi des grands nombres.

Equipping the probability space with a local Dirichlet form with square field operator Γ and generator A allows us to improve Monte Carlo simulations of expectations and densities as soon as we are able to simulate a random variable X together with Γ[X] and A[X]. We give examples on the Wiener space, on the Poisson space and on the Monte Carlo space. When X is real-valued we give an explicit formula yielding the density at the speed of the law of large numbers.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.07.017
Bouleau, Nicolas 1

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Bouleau, Nicolas. Improving Monte Carlo simulations by Dirichlet forms. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 341 (2005) no. 5, pp. 303-306. doi : 10.1016/j.crma.2005.07.017. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.07.017/

[1] Bally, V.; Talay, D. The law of the Euler scheme for stochastic differential equations: II. Convergence rate of the density, Monte Carlo Methods and Appl., Volume 104 (1996) no. 1, pp. 43-80

[2] Bouleau, N. Error Calculus for Finance and Physics, the Language of Dirichlet Forms, De Gruyter, 2003

[3] Bouleau, N.; Hirsch, F. Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Space, De Gruyter, 1991

[4] Kohatsu-Higa, A.; Pettersson, R. Variance reduction methods for simulation of densities on Wiener space, SIAM J. Numer. Anal., Volume 40 (2002) no. 2, pp. 431-450

[5] Malliavin, P.; Thalmaier, A. Numerical error for SDE: asymptotic expansion and hyperdistributions, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 851-856

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