On établit un lien entre la dimension de la mesure harmonique ν, l'entropie asymptotique h et la vitesse de fuite l associées à une marche aléatoire sur le groupe des isométries d'un espace hyperbolique au sens de Gromov, lien de la forme . Ensuite, on utilise cette propriété afin de construire une mesure harmonique de dimension aussi petite que voulue et on en déduit un résultat sur le type de cette mesure.
This Note deals with the dimension of the harmonic measure ν associated with a random walk on the isometry group of a Gromov hyperbolic space. We establish a link of the form between the dimension of the harmonic measure, the asymptotic entropy h of the random walk and its rate of escape l. Then we use this inequality to show that the dimension of this measure can be made arbitrarily small and deduce a result on the type of the harmonic measure.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2005__340_10_739_0,
author = {Le Prince, Vincent},
title = {Singularit\'e de la mesure harmonique sur le bord d'un groupe hyperbolique},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {739--742},
publisher = {Elsevier},
volume = {340},
number = {10},
year = {2005},
doi = {10.1016/j.crma.2005.04.010},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.04.010/}
}
TY - JOUR AU - Le Prince, Vincent TI - Singularité de la mesure harmonique sur le bord d'un groupe hyperbolique JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2005 SP - 739 EP - 742 VL - 340 IS - 10 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.04.010/ DO - 10.1016/j.crma.2005.04.010 LA - fr ID - CRMATH_2005__340_10_739_0 ER -
%0 Journal Article %A Le Prince, Vincent %T Singularité de la mesure harmonique sur le bord d'un groupe hyperbolique %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2005 %P 739-742 %V 340 %N 10 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.04.010/ %R 10.1016/j.crma.2005.04.010 %G fr %F CRMATH_2005__340_10_739_0
Le Prince, Vincent. Singularité de la mesure harmonique sur le bord d'un groupe hyperbolique. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 10, pp. 739-742. doi : 10.1016/j.crma.2005.04.010. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.04.010/
[1] Entropie des groupes de type fini, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A, Volume 275 (1972), pp. 241-270
[2] Mesures de Patterson–Sullivan sur le bord d'un espace hyperbolique au sens de Gromov, Pacific J. Math., Volume 159 (1993), pp. 241-270
[3] Les groupes hyperboliques de Gromov, Lecture Notes in Math., vol. 1441, Springer, 1990
[4] Hyperbolic groups (Gersten, S.M., ed.), Essays in Group Theory, MSRI Publ., vol. 8, Springer, New York, 1987, pp. 75-263
[5] Sur la loi des grands nombres et le rayon spectral d'une marche aléatoire, Astérisque, Volume 74 (1980), pp. 47-78
[6] Hausdorff dimension of the harmonic measure on trees, Ergodic Theory Dynamical Systems (1998), pp. 631-660
[7] The Poisson formula for groups with hyperbolic properties, Ann. of Math., Volume 152 (2000), pp. 659-692
[8] Some asymptotic properties of random walks on free groups (Taylor, J., ed.), Topics in Probability and Lie Groups: Boundary Theory, CRM Proc. and Lecture Notes, vol. 28, Amer. Math. Soc., 2001, pp. 117-152
[9] V. Le Prince, Dimensional properties of the harmonic measure for a random walk on a hyperbolic group, prépublication IRMAR, 2004
Cité par Sources :
