no. 8
Géométrie algébrique
A propos de la fonction de Artin en dimension N⩾2

Présenté par : Michel Raynaud

Rond, Guillaume1
1 Laboratoire E. Picard, UFR MIG, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 8, pp. 577-580.

Dans cette Note nous montrons, à l'aide d'un contre-exemple, qu'un résultat de Hickel [Am. J. Math. 115 (1993) 1299–1334] en dimension 1 est faux en dimension N⩾2. Ce résultat de Hickel relie la fonction de Artin d'un germe de fonction holomorphe avec celle de son idéal jacobien. De tels liens sont importants pour prouver le théorème d'approximation linéaire de Artin conjecturé depuis quinze ans [Spivakovsky, Proceedings of the II SBWAG, Santiago de Compostela 54 (1990) 237–254].

In this Note we give a counter-example to a generalization in dimension N⩾2 of a result of Hickel in dimension 1 [Am. J. Math. 115 (1993) 1299–1334] which relates the Artin function of a germ of holomorphic function to the Artin function of its Jacobian ideal. Such links are important in order to prove the linear Artin approximation theorem that has been conjectured fifteen years ago [Spivakovsky, Proceedings of the II SBWAG, Santiago de Compostela 54 (1990) 237–254].

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.03.006
Rond, Guillaume 1

1 Laboratoire E. Picard, UFR MIG, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, France 
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Rond, Guillaume. A propos de la fonction de Artin en dimension $ N⩾2$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 8, pp. 577-580. doi : 10.1016/j.crma.2005.03.006. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.03.006/

[1] Artin, M. Algebraic approximation of structures over complete local rings, Publ. Math. IHES, Volume 36 (1969), pp. 23-58

[2] Greenberg, M.J. Rational points in henselian discrete valuation rings, Publ. Math. IHES, Volume 31 (1966), pp. 59-64

[3] Hickel, M. Fonction de Artin et germes de courbes traçées sur un germe d'espace analytique, Am. J. Math., Volume 115 (1993), pp. 1299-1334

[4] Lejeune-Jalabert, M. Courbes tracées sur un germe d'hypersurface, Am. J. Math., Volume 112 (1990), pp. 525-568

[5] Nagata, M. Local Rings, Interscience, New York, 1962

[6] Spivakovsky, M. Valuations, the linear Artin approximation theorem and convergence of formal functions, Proc. of the II SBWAG, Santiago de Compostela, Volume 54 (1990), pp. 237-254

[7] Wavrik, J.J. A theorem on solutions of analytic equations with applications to deformations of complex structures, Math. Ann., Volume 216 (1975), pp. 127-142

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