Dans cette Note nous étudions l'identifiabilité des défauts non réguliers à l'intérieur d'un matériau, par mesures au bord. Nous démontrons l'unicité de la détection par deux mesures pour des ensembles arbitraires qui satisfont quasi-partout une propriété de conductivité. Cette propriété est satisfaite par une classe très large d'ensembles, incluant tous les compacts qui s'écrivent comme réunion arbitraire de continua de diamètre non nul. La conductivité est un nouveau concept de régularité qui est lié à « l'épaisseur » de l'ensemble, et il est à rapprocher à la régularité de Wiener plutôt qu'à la régularité classique. Afin de donner une justification rigoureuse de l'approximation par éléments finis, nous démontrons un résultat de stabilité de la détection sans hypothèses de régularité à priori.
This Note deals with the identifiability of non-smooth defects by boundary measurements. We prove the uniqueness of the detection by two measurements for arbitrary closed sets satisfying quasi-everywhere a conductivity assumption. This assumption is satisfied by a large class of compact sets, including all the sets which can be written as an arbitrary union of continua of positive diameter. The conductivity is a new regularity concept which is related to the thickness of the set and is to be compared to the Wiener regularity. In order to rigorously justify the numerical approach by the finite element method, we provide a stability result without any a priori smoothness assumptions.
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Belhachmi, Zakaria; Bucur, Dorin. Détection et approximation de défauts non-réguliers. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 6, pp. 457-460. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.011. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.02.011/
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