Minima of sequences of Gaussian random variables

Gordon, Yehoram; Litvak, Alexander; Schütt, Carsten; Werner, Elisabeth

doi:10.1016/j.crma.2005.02.003

Probability Theory

Minima of sequences of Gaussian random variables
[Minima des suites des variables aléatoires gaussiennes]

Présenté par : Gilles Pisier

Gordon, Yehoram ¹ ; Litvak, Alexander ² ; Schütt, Carsten ³ ; Werner, Elisabeth ^4,⁵

¹ Technion, Department of Mathematics, Haifa 32000, Israel
² Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Alberta, Canada T6G 2G1
³ Christian Albrechts Universität, Mathematisches Seminar, 24098 Kiel, Germany
⁴ Department of Mathematics, Case Western Reserve University, Cleveland, OH 44106, USA
⁵ Université de Lille 1, UFR de mathématique, 59655 Villeneuve d'Ascq, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 6, pp. 445-448.

Résumé
Abstract

Pour une suite $a_{1}, \dots, a_{n}$ des nombres réels, on note le k-ième plus petit membre par $k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} a_{i}$ . On démontre qu'il existe deux constants positives c et C telles que pour toute suite $x_{1}, \dots, x_{n}$ des nombres réels et pour tout $k ⩽ n$ , on ait

c \max_{1 ⩽ j ⩽ k} \frac{k + 1 - j}{\sum_{i = j}^{n} 1 / x_{i}} ⩽ E k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} | x_{i} g_{i} | ⩽ C \ln (k + 1) \max_{1 ⩽ j ⩽ k} \frac{k + 1 - j}{\sum_{i = j}^{n} 1 / x_{i}} .

Ici

g_{i} \in N (0, 1)

i = 1, \dots, n

, sont des variables aléatoires Gaussiennes indépendentes. En plus, si

k = 1

, on n'a pas besoin de l'indépendence des

g_{i}

's pour obtenir l'inégalité du gauche. On démontre également les inégalités correspondantes pour

E k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} {| x_{i} g_{i} |}^{p}

For a given sequence of real numbers $a_{1}, \dots, a_{n}$ we denote the k-th smallest one by $k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} a_{i}$ . We show that there exist two absolute positive constants c and C such that for every sequence of positive real numbers $x_{1}, \dots, x_{n}$ and every $k ⩽ n$ one has

c \max_{1 ⩽ j ⩽ k} \frac{k + 1 - j}{\sum_{i = j}^{n} 1 / x_{i}} ⩽ E k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} | x_{i} g_{i} | ⩽ C \ln (k + 1) \max_{1 ⩽ j ⩽ k} \frac{k + 1 - j}{\sum_{i = j}^{n} 1 / x_{i}},

where

g_{i} \in N (0, 1)

i = 1, \dots, n

, are independent Gaussian random variables. Moreover, if

k = 1

then the left hand side estimate does not require independence of the

g_{i}

s. Similar estimates hold for

E k - \min_{1 ⩽ i ⩽ n} {| x_{i} g_{i} |}^{p}

as well.

Reçu le : 2005-01-13
Accepté le : 2005-02-03
Publié le : 2005-03-02

DOI : 10.1016/j.crma.2005.02.003

Affiliations des auteurs :

Gordon, Yehoram ¹ ; Litvak, Alexander ² ; Schütt, Carsten ³ ; Werner, Elisabeth ^{4, 5}

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     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {445--448},
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TY  - JOUR
AU  - Gordon, Yehoram
AU  - Litvak, Alexander
AU  - Schütt, Carsten
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TI  - Minima of sequences of Gaussian random variables
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2005
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Gordon, Yehoram; Litvak, Alexander; Schütt, Carsten; Werner, Elisabeth. Minima of sequences of Gaussian random variables. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 6, pp. 445-448. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2005.02.003/

Bibliographie
Cité par

[1] Gordon, Y.; Litvak, A.E.; Schütt, C.; Werner, E. Orlicz norms of sequences of random variables, Ann. Probab., Volume 30 (2002), pp. 1833-1853

[2] S. Mallat, O. Zeitouni, Optimality of the Karhunen–Loeve basis in nonlinear reconstruction, preprint, http://www.ee.technion.ac.il/~zeitouni/openprob.html

[3] O. Zeitouni, private communication

Cité par Sources :