Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale

Brenot, Dominique

doi:10.1016/j.crma.2004.12.024

Problèmes mathématiques de la mécanique

Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale

Présenté par : Yves Meyer

Brenot, Dominique ¹

¹ EDF-R&D, 1, avenue du Général de Gaulle, BP 408, 92 141, Clamart cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 10, pp. 779-784.

Résumé
Abstract

Soit Ω un domaine ouvert de $R^{3}$ de frontière Γ. Le problème numéroté (1) dans le texte admet une solution unique dans $H^{1} (Ω)$ , si $k \in R$ , $R_{e} (\frac{1}{ζ}) > 0$ sur une portion de Γ d'aire S non nulle et $g (k, y, ɛ) \in H^{\frac{1}{2}} (Γ)$ . ɛ correspond à l'amortissement d'une structure élastique et ζ est l'impédance acoustique normalisée de la paroi interne de la cavité. ɛ et $\frac{1}{ζ}$ sont des petits paramètres. Par une décomposition modale adaptée et la réalisation d'une moyenne sur une bande étroite de nombre d'onde k, une relation intégrale entre la trace de u sur $Γ, ζ, ɛ$ et g, est construite au premier ordre $ϑ (\frac{1}{ζ}, ɛ)$ en $\frac{1}{ζ}$ et ɛ, par l'intermédiaire du théorème des résidus. Il ne s'agit pas d'une équation équivalente au problème, mais d'une étape vers sa résolution, qui fera l'objet de publications ultérieures.

Let Ω be an opened domain of $R^{3}$ with a boundary Γ. The problem numbered (1) in the text has a unique solution in $H^{1} (Ω)$ , if $k \in R$ , $R_{e} (\frac{1}{ζ}) > 0$ on a part of Γ the area S of which is different from zero and $g (k, y, ɛ) \in H^{\frac{1}{2}} (Γ)$ . ɛ is the damping of an elastic structure and ζ is the normalised acoustic impedance of the internal wall of the cavity. ɛ and $\frac{1}{ζ}$ are small parameters. Thanks to a proper modal expansion and a mean over a narrow band of wave number k, an integral relation between the trace of u on $Γ, ζ, ɛ$ and g is built to the first order $ϑ (\frac{1}{ζ}, ɛ)$ in $\frac{1}{ζ}$ and ɛ, using the residues theorem. It is not an equivalent equation to the problem, but just a step towards its resolution, which will be published in future papers.

Reçu le : 2004-10-08
Accepté le : 2004-12-17
Publié le : 2005-05-04

DOI : 10.1016/j.crma.2004.12.024

Affiliations des auteurs :

Brenot, Dominique ¹

¹ EDF-R&D, 1, avenue du Général de Gaulle, BP 408, 92 141, Clamart cedex, France

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Brenot, Dominique. Problème de Helmholtz intérieur : formulation modale couplée à une représentation intégrale. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 10, pp. 779-784. doi : 10.1016/j.crma.2004.12.024. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.12.024/

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Cité par Sources :