no. 2
Théorie des nombres
Une approche polynomiale du théorème de Faltings

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Farhi, Bakir1
1 Département de mathématiques, université du Maine, avenue Olivier Messiaen, 72085 le Mans, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 340 (2005) no. 2, pp. 103-106.

Nous présentons ici une démonstration élémentaire d'une version quantitative améliorée de la conjecture de Mordell, devenue théorème de Faltings. Nous suivons pour le décompte des points de grande hauteur de C(K) (voir ci-dessous pour les notations) la méthode de Vojta, simplifiée par Bombieri, puis T. de Diego, G. Rémond. Pour le décompte des points de petite hauteur de C(K), nous utilisons un résultat de S. David et P. Philippon, qui permet d'estimer le nombre de points de petite hauteur de l'ensemble plus grand C(K¯)∩J(K).

We present here an elementary proof of a quantitatively improved version of the Mordell's Conjecture which is now Faltings's Theorem. For the count of the ‘large points’ of C(K) (see below for the notations) we use Vojta's method which was simplified by Bombieri and then by T. de Diego, G. Rémond. To count the points of small heights of C(K), we use a result of S. David and P. Philippon, allowing to us estimate the number of points of small height of the bigger set C(K¯)∩J(K).

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DOI : 10.1016/j.crma.2004.11.026
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[1] David, S.; Philippon, P. Minoration des hauteurs normalisées des sous-variétés de variétés abeliennes 2, Comment. Math. Helv., Volume 77 (2002) no. 4, pp. 639-700

[2] Faltings, G. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern, Invent. Math., Volume 73 (1983), pp. 349-366

[3] Philippon, P. Sur des hauteurs alternatives I; II; III, J. Math. Pures Appl., Volume 289 (1991) no. 4, pp. 255-283

[4] Rémond, G. Décompte dans une conjecture de Lang, Invent. Math., Volume 142 (2000), pp. 513-545

[5] Rémond, G. Inégalité de Vojta en dimension supérieure, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume 29 (2000), pp. 101-151

[6] Rémond, G. Élimination multihomogène (Nesterenko, Y.V.; Philippon, P., eds.), Introduction to Algebraic Independence Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1752, Springer, 2001, pp. 53-81

[7] Vojta, P. Siegel's theorem in the compact case, Ann. Math., Volume 133 (1991), pp. 509-548

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