Notons l'exposant qui mesure comment un nombre réel non quadratique ξ et son carré peuvent être approchés simultanément par des nombres rationnels de même dénominateur. Davenport et Schmidt ont démontré que est toujours compris (au sens large) entre le nombre d'or γ et 2. Roy, puis Bugeaud et Laurent, ont construit à l'aide de mots ayant beaucoup de préfixes palindromes des réels ξ tels que . Dans ce texte, on définit de nouveaux exposants d'approximation qui permettent, dans une certaine mesure, de caractériser les valeurs de obtenues par ces auteurs.
Let be the exponent that measures how a non-quadratic real number ξ and its square can be simultaneously approximated by rational numbers with the same denominator. Davenport and Schmidt have proved that is always between the golden ratio γ and 2. Roy, and after him Bugeaud and Laurent, have constructed numbers ξ such that . Their method involves infinite words with many palindrome prefixes. In this text, we define new exponents of approximation that allow us to obtain, to some extent, a characterization of the values obtained by these authors.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2004__339_10_679_0,
author = {Fischler, St\'ephane},
title = {Spectres pour l'approximation d'un nombre r\'eel et de son carr\'e},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {679--682},
publisher = {Elsevier},
volume = {339},
number = {10},
year = {2004},
doi = {10.1016/j.crma.2004.10.009},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/}
}
TY - JOUR AU - Fischler, Stéphane TI - Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2004 SP - 679 EP - 682 VL - 339 IS - 10 PB - Elsevier UR - http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/ DO - 10.1016/j.crma.2004.10.009 LA - fr ID - CRMATH_2004__339_10_679_0 ER -
%0 Journal Article %A Fischler, Stéphane %T Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré %J Comptes Rendus. Mathématique %D 2004 %P 679-682 %V 339 %N 10 %I Elsevier %U http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/ %R 10.1016/j.crma.2004.10.009 %G fr %F CRMATH_2004__339_10_679_0
Fischler, Stéphane. Spectres pour l'approximation d'un nombre réel et de son carré. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 10, pp. 679-682. doi : 10.1016/j.crma.2004.10.009. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.10.009/
[1] Transcendence of Sturmian or morphic continued fractions, J. Number Theory, Volume 91 (2001) no. 1, pp. 39-66
[2] Approximation by Algebraic Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 160, Cambridge University Press, 2004
[3] Y. Bugeaud, M. Laurent, Exposants d'approximation et fractions continues sturmiennes, soumis
[4] Limit values of the recurrence quotient of Sturmian sequences, Theor. Comput. Sci., Volume 218 (1999), pp. 3-12
[5] Approximation to real numbers by algebraic integers, Acta Arith., Volume 15 (1969), pp. 393-416
[6] Approximation simultanée d'un nombre et de son carré, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 336 (2003), pp. 1-6
[7] Approximation to real numbers by cubic algebraic integers I, Proc. London Math. Soc., Volume 88 (2004), pp. 42-62
[8] Approximation to real numbers by cubic algebraic integers II, Ann. Math., Volume 158 (2003), pp. 1081-1087
[9] Diophantine Approximation, Lecture Notes in Math., vol. 785, Springer, 1980
Cité par Sources :
