On considère un matériau composite constitué d'un tissu de fibres (de carbone ou de verre) noyé dans une résine qui se solidifie sous l'effet de la chaleur (réaction de réticulation). La modélisation mathématique du processus d'élaboration du matériau est donnée par une équation cinétique décrivant l'évolution de la réaction de réticulation couplée à l'équation de la chaleur. La structure du matériau est périodique de période . On établit un résultat d'existence et d'unicité à l'aide du théorème de point fixe de Schauder. Par un dévelopement asymptotique formel on obtient un problème homogénéisé décrivant le comportement macroscopique du matériau. On prouve la convergence vers la solution du problème homogénéisé quand ɛ tend vers zéro et on obtient une estimation d'erreur pour un cas de non-linéarité faible. Finalement on résout numériquement le problème homogénéisé.
We consider a composite material constituted of carbon or glass fibres included in a resin which becomes solid when it is heated up (reaction of reticulation). The mathematical modelling of the cure process is given by a kinetic equation describing the evolution of the reaction of reticulation coupled with the heat equation. The geometry of the composite material is periodic, with a small period . First we prove the existence and uniqueness of a solution by using Schauder's fixed point theorem. Then, by using an asymptotic expansion, we derive the homogenized problem which describes the macroscopic behaviour of the material. We prove the convergence of the solution of the problem to the solution of the homogenized problem when ɛ tends to zero and we obtain an error estimate in a case of weak non-linearity. Finally we solve numerically the homogenized problem.
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Meliani, Salha; Panasenko, Grigory; Paoli, Laetitia. Étude d'un modèle thermo-chimique de formation d'un matériau composite. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 8, pp. 597-602. doi : 10.1016/j.crma.2004.08.003. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.08.003/
[1] Homogenization Averaging Process in Periodic Media, Kluwer Academic, Dordrecht, 1989
[2] Homogenization and Porous Media (Hornung, U., ed.), Interdisciplinary Applied Mathematics Series, Springer-Verlag, 1996
[3] S. Meliani, Etude asymptotique et numérique d'un modèle thermo-chimique de formation d'un matériau composite, Thèse de Doctorat en mathématiques, Université de St-Etienne, 2003
[4] S. Meliani, G. Panasenko, Thermo-chemical modelling of formation of a composite material, Appl. Anal., à paraitre
[5] Homogenization of a model of cure process for composites, Nonlinear Anal., Volume 56 (2004), pp. 385-413
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