La Note étudie une équation de Hamilton–Jacobi géométrique non locale qui modélise le mouvement d'une dislocation plane dans un cristal. Dans le cadre de la théorie des solutions de viscosité et de l'approche par ensemble de niveau, on montre que l'équation admet une unique solution sur un petit intervalle de temps lorsque la courbe initiale est le graphe d'une fonction lipschitzienne bornée.
This Note studies a nonlocal geometric Hamilton–Jacobi equation that models the motion of a planar dislocation in a crystal. Within the framework of viscosity solutions and of the level-set approach, we show that the equation has a unique solution on a small time interval when the initial curve is the graph of a Lipschitz bounded function.
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Alvarez, Olivier; Hoch, Philippe; Le Bouar, Yann; Monneau, Régis. Résolution en temps court d'une équation de Hamilton–Jacobi non locale décrivant la dynamique d'une dislocation. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 9, pp. 679-684. doi : 10.1016/j.crma.2004.03.007. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.03.007/
[1] O. Alvarez, P. Hoch, Y. Le Bouar, R. Monneau, en préparation
[2] Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman Equations, Birkhäuser, Boston, 1997
[3] Solutions de Viscosité des Équations de Hamilton–Jacobi, Springer-Verlag, Berlin, 1994
[4] Front propagation and phase field theory, SIAM J. Control Optim., Volume 31 (1993), pp. 439-469
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[6] A level set approach to semicontinuous viscosity solutions for Cauchy problems, Comm. Partial Differential Equations, Volume 26 (2001), pp. 813-839
[7] Theory of Dislocations, McGraw-Hill, New York, 1982
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