no. 4
Théorie des groupes
Lissité rationnelle des variétés de représentations d'un carquois

Présenté par : Michèle Vergne

Arabia, Alberto1
1 CNRS, institute de mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7 – Denis Diderot, laboratoire de théorie des groupes, représentations et applications, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 4, pp. 267-270.

Des travaux récents s'intéressent à la lissité rationnelle des variétés des représentations de carquois, notamment ceux de Robert Bédard, Ralf Schiffler et Philippe Caldéro. Leur principal résultat est léquivalence pour une variété de représentations 𝒪 ¯ d'un carquois de type Dynkin, entre

𝒪 ¯ est rationnellement lisse ⟺𝒪 ¯ est lisse ⟺𝒪 ¯ est un espace affine .
Cette Note donne une approche différente de la question et une version plus générale des équivalences de Bédard–Schiffler–Caldéro.

Recent works are devoted to the rational smoothness of varieties of representations for quivers, notably those of Robert Bédard, Ralf Schiffler and Philippe Caldéro. Their main result is the equivalence for a variety of representations 𝒪 ¯ of a quiver of Dynkin type, between

𝒪 ¯ is rationally smooth ⟺𝒪 ¯ is smooth ⟺𝒪 ¯ is an affine space .
This Note gives a different approach to the question and a strengthened version of Bédard–Schiffler–Caldéro's equivalences.

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DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.012
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1 CNRS, institute de mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7 – Denis Diderot, laboratoire de théorie des groupes, représentations et applications, 175, rue du Chevaleret, 75013 Paris, France 
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Arabia, Alberto. Lissité rationnelle des variétés de représentations d'un carquois. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 4, pp. 267-270. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.012. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.12.012/

[1] Arabia, A. Classes d'Euler équivariantes et points rationnellement lisses, Ann. Inst. Fourier, Volume 48 (1998) no. 3, pp. 861-912

[2] Bédard, R.; Schiffler, R. Rational smoothness of varieties of representations for quivers of type A, Representation Theory, Volume 7 (2003), pp. 481-548

[3] Brion, M. Rational smoothness and fixed points of torus actions, Transformation Groups, Volume 4 (1999), pp. 127-156

[4] Caldéro, Ph.; Schiffler, R. (Rational smoothness of varieties of representations for quivers of Dynkin type, Prépublication) | arXiv

[5] Deodhar, V.V. Local Poincaré duality and nonsingularity of Schubert varieties, Comm. Algebra, Volume 13 (1985) no. 6, pp. 1379-1388

[6] Lakshmibai, V.; Seshadri, C.S. Singular locus of a Schubert variety, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 11 (1984) no. 2, pp. 363-366

[7] Lusztig, G. Finite dimensional Hopf algebras arising from quantized universal enveloping algebras, J. Amer. Math. Soc., Volume 3 (1990), pp. 257-296

[8] Lusztig, G. Canonical bases arising from quantized enveloping algebras, J. Amer. Math. Soc., Volume 3 (1990), pp. 447-498

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