Levi-flat extensions from a part of the boundary

Shcherbina, Nikolay; Tomassini, Giuseppe

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 699-703.

Soient G un domaine borné dans $ℂ\times ℝ$ tel que $\mathrm{G}\times ℝ\subset {ℂ}^2$ soit strictement pseudoconvexe et U un sous-ensemble ouvert de bG. On définit un sous-ensemble ouvert ${\Omega }^U$ de $\overline{G}$ avec la propriété ${\Omega }^U\cap \mathrm{bG}=\mathrm{U}$ tel que le résultat suivant soit valable : pour toute fonction ϕ∈C(U) il existe deux fonctions ${\Phi }^{\pm }\in \mathrm{C}\left({\Omega }^U\right)$ telles que Φ^±|_U=ϕ et les graphes Γ(Φ^±) de Φ^± soient Levi-plats sur ${\Omega }^U\cap \mathrm{G}$. De plus, pour toute $\Phi \in \mathrm{C}\left({\Omega }^U\right)$ telle que Φ|_U=ϕ et Γ(Φ) soit Levi-plat sur ${\Omega }^U\cap \mathrm{G}$, on a Φ⁻⩽Φ⩽Φ⁺ sur ${\Omega }^U$. On démontre aussi que si G est difféomorphe à la boule et U est une réunion de domaines simplement connexes, chacun d'entre eux étant contenu soit dans la partie supérieure, soit dans la partie inférieure de bG (par rapport à la direction u), alors ${\Omega }^U$ est le domaine maximal pour l'extension Levi-plate d'une certaine fonction ϕ∈C(U).

Let G be a bounded domain in $ℂ\times ℝ$ such that $\mathrm{G}\times ℝ\subset {ℂ}^2$ is strictly pseudoconvex and U an open subset of bG. We define an open subset ${\Omega }^U$ of $\overline{G}$ with the property ${\Omega }^U\cap \mathrm{bG}=\mathrm{U}$ such that the following extension theorem holds true: for every ϕ∈C(U) there exist two functions ${\Phi }^{\pm }\in \mathrm{C}\left({\Omega }^U\right)$ such that Φ^±|_U=ϕ and the graphs Γ(Φ^±) of Φ^± are Levi-flat over ${\Omega }^U\cap \mathrm{G}$. Moreover, for each $\Phi \in \mathrm{C}\left({\Omega }^U\right)$ such that Φ|_U=ϕ and Γ(Φ) is Levi-flat over ${\Omega }^U\cap \mathrm{G}$ one has Φ⁻⩽Φ⩽Φ⁺ on ${\Omega }^U$. We also show that if G is diffeomorphic to a 3-ball and U is the union of simply-connected domains each of which is contained either in the “upper” or in the “lower” part of bG (with respect to the u-direction), then ${\Omega }^U$ is the maximal domain of Levi-flat extensions for some function ϕ∈C(U).

[1] Bedford, E.; Gaveau, B. Envelopes of holomorphy of certain 2-spheres in ${ℂ}^2$, Amer. J. Math., Volume 105 (1983), pp. 975-1009

[2] Bedford, E.; Klingenberg, W. On the envelopes of holomorphy of a 2-spheres in ${ℂ}^2$, J. Amer. Math. Soc., Volume 4 (1991), pp. 623-646

[3] Chirka, E.M.; Shcherbina, N.V. Pseudoconvexity of rigid domains and foliations of hulls of graphs, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), Volume XXI (1995), pp. 707-735

[4] Eliashberg, Y. Filling by holomorphic discs and its applications, London Math. Soc. Lecture Note Ser., Volume 151 (1991), pp. 45-67

[5] Kruz̆ilin, N.G. Two-dimensional spheres in the boundary of strictly pseudoconvex domains in ${ℂ}^2$, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Volume 55 (1991), pp. 1194-1237

[6] Shcherbina, N. On the polynomial hull of a graph, Indiana Univ. Math. J., Volume 42 (1993), pp. 477-503

[7] Shcherbina, N.; Tomassini, G. The Dirichlet problem for Levi flat graphs over unbounded domains, Internat. Math. Res. Notices (1999), pp. 111-151