[Dualité d'entropie métrique]
Soit K un corps convexe d'un espace euclidien. Nous notons K° le polaire de K et D la boule unité euclidienne. Nous montrons que les nombres de recouvrement N(K,tD) et N(D,tK°) sont équivalents dans un sens approprié, uniformément sur tous les corps convexes symétriques, pour t>0 et pour toute dimension d'espace. En particulier, nous confirmons la conjecture concernant la dualité des nombres d'entropie des opérateurs compacts entre espaces de Banach, conjecture formulée par Pietsch en 1972 dans le cas fondamental où l'un des espaces est hilbertien.
Let K be a convex body in a Euclidean space, K° its polar body and D the Euclidean unit ball. We prove that the covering numbers N(K,tD) and N(D,tK°) are comparable in the appropriate sense, uniformly over symmetric convex bodies K, over t>0 and over the dimension of the space. In particular this verifies the duality conjecture for entropy numbers of linear operators, posed by Pietsch in 1972, in the central case when either the domain or the range of the operator is a Hilbert space.
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Artstein, Shiri; Milman, Vitali D.; Szarek, Stanislaw J. Duality of metric entropy in Euclidean space. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 337 (2003) no. 11, pp. 711-714. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.033. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2003.09.033/
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