no. 10
Partial Differential Equations
Remarks on a Hardy–Sobolev inequality
[Remarques sur une inégalité de Hardy–Sobolev]

Présenté par : Haïm Brézis

Secchi, Simone1 ; Smets, Didier2 ; Willem, Michel3
1 Dipartimento di Matematica, Università di Pisa, via F. Buonarroti, 2, 56127 Pisa, Italy
2 Laboratoire J.-L. Lions, Université Paris 6, 4, pl. Jussieu, BC 187, 75252 Paris cedex 05, France
3 Université Catholique de Louvain, 2, chemin du cyclotron, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgium
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 10, pp. 811-815.

Nous calculons la meilleure constante dans une inégalité de Hardy–Sobolev généralisée, et en utilisant le produit de deux symétrisations, nous montrons de manière élémentaire la symétrie de certaines fonctions optimales. Cette inégalité est motivée par une équation elliptique non-linéaire en astrophysique.

We compute the optimal constant for a generalized Hardy–Sobolev inequality, and using the product of two symmetrizations we present an elementary proof of the symmetries of some optimal functions. This inequality was motivated by a nonlinear elliptic equation arising in astrophysics.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00202-4
Secchi, Simone 1 ; Smets, Didier 2 ; Willem, Michel 3

1 Dipartimento di Matematica, Università di Pisa, via F. Buonarroti, 2, 56127 Pisa, Italy
2 Laboratoire J.-L. Lions, Université Paris 6, 4, pl. Jussieu, BC 187, 75252 Paris cedex 05, France
3 Université Catholique de Louvain, 2, chemin du cyclotron, 1348 Louvain-la-Neuve, Belgium 
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Secchi, Simone; Smets, Didier; Willem, Michel. Remarks on a Hardy–Sobolev inequality. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 10, pp. 811-815. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00202-4. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00202-4/

[1] Badiale, M.; Tarantello, G. A Sobolev–Hardy inequality with applications to a nonlinear elliptic equation arising in astrophysics, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 163 (2002), pp. 259-293

[2] Brock, F.; Solynin, A.Y. An approach to symmetrization via polarization, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 352 (2000) no. 4, pp. 1759-1796

[3] Kavian, O. Introduction à la théorie des points critiques, Springer-Verlag, Paris, 1993

[4] G. Mancini, K. Sandeep, Cylindrical symmetry of extremals of a Hardy–Sobolev inequality, Preprint, Dipartimento di Matematica, Università di Roma III, Roma, Italy

[5] Mitidieri, E. A simple approach to Hardy inequalities, Math. Notes, Volume 67 (2000) no. 4

[6] Willem, M. Analyse fonctionnelle élémentaire, Cassini, Paris, 2003

Cité par Sources :