Ordinary Differential Equations
Analysis of a Poisson system with boundary conditions
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 703-708.

We consider a class of problems originating from a Raman laser amplification model, for which the equations can be written as a Poisson system with boundary conditions. Once reformulated, this system becomes an integro-differential equation that we study here in some detail. In particular, we show the existence of a smooth solution under general assumptions, and prove its uniqueness for boundary values that are not too far apart. Eventually, we completely solve the question of uniqueness for systems of dimensions one and two.

Nous étudions une classe de problèmes dont l'origine provient d'un modèle décrivant l'effet d'amplification Raman dans une fibre optique. Les équations s'écrivent sous la forme d'un système de Poisson avec conditions aux deux bouts. Après réduction, ce système s'écrit sous la forme d'une équation intégro-différentielle. Nous étudions ici cette classe de systèmes. Nous montrons l'existence d'une solution dans le cas général et l'unicité pour des données petites du problème. Pour des données quelconques, nous prouvons l'unicité en dimensions un et deux.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/S1631-073X(03)00184-5
Castella, François 1; Chartier, Philippe 2; Faou, Erwan 2

1 IRMAR, Université de Rennes 1, 35042 Rennes cedex, France
2 INRIA Rennes, Campus Beaulieu, 35042 Rennes cedex, France
@article{CRMATH_2003__336_9_703_0,
     author = {Castella, Fran\c{c}ois and Chartier, Philippe and Faou, Erwan},
     title = {Analysis of a {Poisson} system with boundary conditions},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {703--708},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {9},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00184-5},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00184-5/}
}
TY  - JOUR
AU  - Castella, François
AU  - Chartier, Philippe
AU  - Faou, Erwan
TI  - Analysis of a Poisson system with boundary conditions
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 703
EP  - 708
VL  - 336
IS  - 9
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00184-5/
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00184-5
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__336_9_703_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Castella, François
%A Chartier, Philippe
%A Faou, Erwan
%T Analysis of a Poisson system with boundary conditions
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 703-708
%V 336
%N 9
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00184-5/
%R 10.1016/S1631-073X(03)00184-5
%G en
%F CRMATH_2003__336_9_703_0
Castella, François; Chartier, Philippe; Faou, Erwan. Analysis of a Poisson system with boundary conditions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 9, pp. 703-708. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00184-5. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00184-5/

[1] Achtenhagen, M.; Chang, T.G.; Nyman, B. Analysis of a multiple-pump Raman amplifier, Appl. Phys. Lett., Volume 78 (2001) no. 10, pp. 1322-1324

[2] Ascher, U.M.; Mattheij, R.M.M.; Russel, R.D. Numerical Solution of Boundary Value for Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1988

[3] F. Castella, P. Chartier, E. Faou, D. Bayart, F. Leplingard, C. Martinelli, Raman laser modeling: mathematical and numerical analysis, INRIA Research Report, 2003

[4] Hairer, E.; Lubich, C.; Wanner, G. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations, Geometric Numerical Integration, Springer Ser. Comput. Math., 31, Springer-Verlag, Berlin, 2002

[5] Kidorf, H.; Rottwitt, K.; Nissov, M.; Ma, M.; Rabarijaona, E. Pump interactions in a 100-nm bandwidth Raman amplifier, IEEE Photon. Technol. Lett., Volume 11 (1999) no. 5, pp. 530-532

[6] Rini, M.; Christiani, I.; Degiorgio, V. Numerical modeling and optimization of cascaded Raman fiber lasers, IEEE J. Quantum Electron., Volume 36 (2000) no. 10, pp. 1117-1122

Cited by Sources: