Statistique/Probabilités
Modèles de Markov Triplet et filtrage de Kalman
[Triplet Markov models and Kalman filtering]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 8, pp. 667-670.

Kalman filtering enables to estimate a multivariate unobservable process x={x n } n from an observed multivariate process y={y n } n . It admits a lot of applications, in particular in signal processing. In its classical framework, it is based on a dynamic stochastic model in which x satisfies a linear evolution equation and the conditional law of y given x is given by the laws p(y n |x n ). In this Note, we propose two successive generalizations of the classical model. The first one, which leads to the “Pairwise” model, consists in assuming that the evolution equation of x is indeed satisfied by the pair (x,y). We show that the new model is strictly more general than the classical one, and yet still enables Kalman-like filtering. The second one, which leads to the “Triplet” model, consists in assuming that the evolution equation of x is satisfied by a triplet (x,r,y), in which r={r n } n is an (artificial) auxiliary process. We show that the Triplet model is strictly more general than the Pairwise one, and yet still enables Kalman filtering.

Le filtrage de Kalman permet d'estimer un processus multivarié inobservable x={x n } n à partir d'un processus multivarié observé y={y n } n . Cet outil admet de multiples applications, en particulier en traitement du signal. Dans sa formulation classique, il s'appuie sur un modèle stochastique dynamique dans lequel x vérifie une équation d'évolution linéaire et la loi de y conditionnelle à x est donnée par les lois p(y n |x n ). Nous proposons dans cette Note deux généralisations successives du modèle classique. La première, qui mène au modèle dit « Couple », consiste à supposer que l'équation d'évolution de x est en fait vérifiée par le couple (x,y). Nous montrons que le nouveau modèle est strictement plus général que le modèle classique et qu'il peut, néanmoins, servir de support à la mise en place d'un filtrage de type Kalman. La deuxième, qui mène au modèle dit « Triplet », consiste à supposer que l'équation d'état est vérifiée par un triplet (x,r,y), où r={r n } n est un processus auxiliaire, éventuellement sans existence physique. Nous montrons que le modèle Triplet est strictement plus général que le modèle Couple, et permet encore la mise en place du filtrage de Kalman.

Received:
Accepted:
Published online:
DOI: 10.1016/S1631-073X(03)00152-3
Desbouvries, François 1; Pieczynski, Wojciech 1

1 GET/INT, département communications, image et traitement de l'information, 9, rue Charles Fourier, 91011 Evry, France
@article{CRMATH_2003__336_8_667_0,
     author = {Desbouvries, Fran\c{c}ois and Pieczynski, Wojciech},
     title = {Mod\`eles de {Markov} {Triplet} et filtrage de {Kalman}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {667--670},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {8},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00152-3},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00152-3/}
}
TY  - JOUR
AU  - Desbouvries, François
AU  - Pieczynski, Wojciech
TI  - Modèles de Markov Triplet et filtrage de Kalman
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 667
EP  - 670
VL  - 336
IS  - 8
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00152-3/
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00152-3
LA  - fr
ID  - CRMATH_2003__336_8_667_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Desbouvries, François
%A Pieczynski, Wojciech
%T Modèles de Markov Triplet et filtrage de Kalman
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 667-670
%V 336
%N 8
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00152-3/
%R 10.1016/S1631-073X(03)00152-3
%G fr
%F CRMATH_2003__336_8_667_0
Desbouvries, François; Pieczynski, Wojciech. Modèles de Markov Triplet et filtrage de Kalman. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 8, pp. 667-670. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00152-3. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00152-3/

[1] Anderson, B.D.O.; Moore, J.B. Optimal Filtering, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1979

[2] Arulampalam, M.S.; Maskell, S.; Gordon, N.; Clapp, T. A tutorial on particle filters for online nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Trans. Signal Processing, Volume 50 (2002) no. 2, pp. 174-188

[3] Chonavel, T. Traitement du signal aléatoire, Collection Technique et Scientifique des Télécommunications, Springer, Paris, 2000

[4] Sequential Monte Carlo Methods in Practice (Doucet, A.; de Freitas, N.; Gordon, N., eds.), Statistics for Engineering and Information Science, Springer-Verlag, New York, 2001

[5] Harvey, A.C. Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, 1989

[6] Kalman, R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems, Trans. ASME J. Basic Eng. Ser. D, Volume 82 (1960) no. 1, pp. 35-45

[7] Lipster, R.S.; Shiryaev, A.N. Statistics of Random Processes, Vol. 2: Applications, Springer-Verlag, 2001

[8] Pieczynski, W.; Benboudjema, D.; Lanchantin, P. Statistical image segmentation using Triplet Markov fields, SPIE International Symposium on Remote Sensing, Crete, Grece, September 22–27, 2002

[9] Pieczynski, W.; Tebbache, A.N. Pairwise Markov random fields and segmentation of textured images, Machine Graphics and Vision, Volume 9 (2000) no. 3, pp. 705-718

[10] Pieczynski, W. Arbres de Markov Couple, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 79-82

[11] Pieczynski, W. Chaînes de Markov Triplet, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 335 (2002), pp. 275-278

[12] W. Pieczynski, Pairwise Markov chains, IEEE Trans. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2002, accepted

[13] Ruanaidh, J.J.K.O.; Fitzgerald, W.J. Numerical Bayesian Methods Applied to Signal Processing, Statistics in Computing, Springer-Verlag, New York, 1996

Cited by Sources: