Complex Analysis
Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass
[Sous-extension des fonctions plurisousharmoniques de masse de Monge–Ampère bornée]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 305-308.

Soit Ω n un domaine hyperconvexe. On désigne par 0 (Ω) la classe des fonctions plurisousharmoniques sur Ω avec valeurs au bord nulle et de masse de Monge–Ampère finie sur Ω. On désigne par (Ω) la classe des fonctions ϕ plurisousharmoniques négatives sur Ω, limite d'une suite décroissante (ϕj) de fonctions de 0 (Ω) telle que sup j Ω ( dd c ϕ j ) n <+. On sait que l'opérateur de Monge–Ampère est bien défini sur (Ω) et que pour une fonction ϕ(Ω), la mesure de Monge–Ampère associée est une mesure de Borel sur Ω de masse totale bornée. Une telle fonction sera dite de masse de Monge–Ampère bornée sur Ω.

On démontre alors que pour tout domaine hyperconvexe Ω ˜,ΩΩ ˜ n et tout ϕ(Ω) il existe une fonction ϕ ˜(Ω ˜) telle que ϕ ˜ϕ sur Ω et Ω ˜ ( dd c ϕ ˜) n Ω ( dd c ϕ) n . Une telle fonction ϕ ˜ est dite sous-extension de ϕ au domaine Ω ˜. A partir de ce résultat, nous déduisons un théorème d'intégrabilté uniforme global pour les classes de fonction plurisousharmoniques sur Ω n ayant des masses de Monge–Ampère uniformément bornées sur Ω.

Let Ω n be a hyperconvex domain. Denote by 0 (Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω with boundary values 0 and finite Monge–Ampère mass on Ω. Then denote by (Ω) the class of negative plurisubharmonic functions ϕ on Ω for which there exists a decreasing sequence (ϕ)j of plurisubharmonic functions in 0 (Ω) converging to ϕ such that sup j Ω ( dd c ϕ j ) n +.

It is known that the complex Monge–Ampère operator is well defined on the class (Ω) and that for a function ϕ(Ω) the associated positive Borel measure is of bounded mass on Ω. A function from the class (Ω) is called a plurisubharmonic function with bounded Monge–Ampère mass on Ω.

We prove that if Ω and Ω ˜ are hyperconvex domains with ΩΩ ˜ n and ϕ(Ω), there exists a plurisubharmonic function ϕ ˜(Ω ˜) such that ϕ ˜ϕ on Ω and Ω ˜ ( dd c ϕ ˜) n Ω ( dd c ϕ) n . Such a function is called a subextension of ϕ to Ω ˜.

From this result we deduce a global uniform integrability theorem for the classes of plurisubharmonic functions with uniformly bounded Monge–Ampère masses on Ω.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1
Cegrell, Urban 1 ; Zeriahi, Ahmed 2

1 Department of Mathematics, University of Umeä, 90187 Umeä, Sweden
2 Université Paul Sabatier, institut de mathématiques, laboratoire Emile Picard, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France
@article{CRMATH_2003__336_4_305_0,
     author = {Cegrell, Urban and Zeriahi, Ahmed},
     title = {Subextension of plurisubharmonic functions with bounded {Monge{\textendash}Amp\`ere} mass},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {305--308},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {4},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00031-1},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/}
}
TY  - JOUR
AU  - Cegrell, Urban
AU  - Zeriahi, Ahmed
TI  - Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 305
EP  - 308
VL  - 336
IS  - 4
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00031-1
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__336_4_305_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Cegrell, Urban
%A Zeriahi, Ahmed
%T Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 305-308
%V 336
%N 4
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/
%R 10.1016/S1631-073X(03)00031-1
%G en
%F CRMATH_2003__336_4_305_0
Cegrell, Urban; Zeriahi, Ahmed. Subextension of plurisubharmonic functions with bounded Monge–Ampère mass. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 336 (2003) no. 4, pp. 305-308. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00031-1. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(03)00031-1/

[1] Bedford, E.; Burns, D. Domains of existence for plurisubharmonic functions, Math. Ann., Volume 238 (1978) no. 1, pp. 67-69

[2] Bedford, E.; Taylor, B.A. A new capacity for plurisubharmonic functions, Acta Math., Volume 149 (1981), pp. 1-40

[3] Bedford, E.; Taylor, B.A. Smooth plurisubharmonic functions without subextension, Math. Z., Volume 198 (1988) no. 3, pp. 331-337

[4] Cegrell, U. On the domains of existence for plurisubharmonic functions, Complex Analysis, Warsaw, 1979, Banach Center Publ., 11, PWN, Warsaw, 1983, pp. 33-37

[5] Cegrell, U. Pluricomplex energy, Acta Math., Volume 180 (1998), pp. 187-217

[6] U. Cegrell, The general definition of the complex Monge–Ampère operator, Preprint of Umeå University and Mid Sweden University, 2002

[7] El Mir, H. Fonctions plurisousharmoniques et ensembles pluripolaires, Séminaire Lelong–Skoda, Lecture Notes in Math., 822, Springer-Verlag, 1980, pp. 61-76

[8] Fornaess, E.; Sibony, N. Plurisubharmonic functions on ring domains, Complex Analysis, Univ. Park, 1986, Lecture Notes in Math., 1268, Springer-Verlag, 1987, pp. 111-120

[9] Kolodziej, S. The range of the complex Monge–Ampère operator, Indiana Univ. Math. J., Volume 44 (1995) no. 3, pp. 765-783

[10] Kolodziej, S. The complex Monge–Ampère equation, Acta Math., Volume 180 (1998), pp. 69-117

[11] Zeriahi, A. Pluricomplex Green functions and the Dirichlet problem for complex Monge–Ampère operator, Michigan Math. J., Volume 44 (1997), pp. 579-596

[12] Zeriahi, A. Volume and capacity of sublevel sets of a Lelong class of plurisubharmonic functions, Indiana Univ. Math. J., Volume 50 (2001) no. 1, pp. 671-703

[13] A. Zeriahi, Local uniform integrability and the size of plurisubharmonic lemniscates in terms of Hausdorff–Riesz measures, Prépublication n° 222, Laboratoire Emile Picard, UPS-Toulouse, 2001

Cité par Sources :