Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 529-531.

On considère des operateurs de Schrödinger H sur de la forme H=Hλ,x,ω=λv(x+)δn,n+Δv est une fonction réelle analytique non-constante sur le tore d-dimensionnel 𝕋 d (d1) et Δ le Laplacien discret sur . Denotons Lω(E) l'exposant de Lyapounov, consideré comme fonction de l'énergie E et du vecteur de rotation ω𝕋 d . Pour |λ|>λ0(v), on a la minoration L ω (E)>1 2 log |λ| uniforme pour toute E et ω. Pour tout λ et ω, Lω(E) est une fonction continu de E. En plus, Lω(E) est continu comme fonction de (ω,E) en tout point (ω 0 ,E 0 )𝕋 d × tel que k·ω0≠0 pour tout k d {0}.

We consider quasi-periodic Schrödinger operators H on of the form H=Hλ,x,ω=λv(x+)δn,n+Δ where v is a non-constant real analytic function on the d-torus 𝕋 d (d1) and Δ denotes the discrete lattice Laplacian on . Denote by Lω(E) the Lyapounov exponent, considered as function of the energy E and the rotation vector ω𝕋 d . It is shown that for |λ|>λ0(v), there is the uniform minoration L ω (E)>1 2 log |λ| for all E and ω. For all λ and ω, Lω(E) is a continuous function of E. Moreover, Lω(E) is jointly continuous in (ω,E), at any point (ω 0 ,E 0 )𝕋 d × such that k·ω0≠0 for all k d {0}.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6
Bourgain, Jean 1

1 School of Mathematics, Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA
@article{CRMATH_2002__335_6_529_0,
     author = {Bourgain, Jean},
     title = {Exposants de {Lyapounov} pour op\'erateurs de {Schr\"odinger} discr\`etes quasi-p\'eriodiques},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {529--531},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {6},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02525-6},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bourgain, Jean
TI  - Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 529
EP  - 531
VL  - 335
IS  - 6
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02525-6
LA  - fr
ID  - CRMATH_2002__335_6_529_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bourgain, Jean
%T Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 529-531
%V 335
%N 6
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/
%R 10.1016/S1631-073X(02)02525-6
%G fr
%F CRMATH_2002__335_6_529_0
Bourgain, Jean. Exposants de Lyapounov pour opérateurs de Schrödinger discrètes quasi-périodiques. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 6, pp. 529-531. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02525-6. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02525-6/

[1] J. Bourgain, Green's function estimates for lattice Schrödinger operators and applications, Ann. of Math. Stud., à paraître

[2] J. Bourgain, Positivity and continuity of the Lyapounov exponent for shifts on 𝕋 d with arbitrary frequency vector and real analytic potential, Preprint, 2002

[3] Bourgain, J.; Goldstein, M. On nonperturbative localization with quasi-periodic potential, Ann. of Math., Volume 152 (2000), pp. 835-879

[4] J. Bourgain, S. Jitomirskaya, Continuity of the Lyapounov exponent for quasi-periodic operators with analytic potential, à paraître

[5] Goldstein, M.; Schlag, W. Hölder continuity of the integrated density of states for quasi-periodic Schrödinger operators and averages of shifts of subharmonic function, Ann. of Math., Volume 154 (2001), pp. 155-203

[6] Krasovsky, I.V. Bloch electrons in a magnetic field and the Ising model, Phys. Rev. Lett., Volume 85 (2000), pp. 4920-4923

[7] Soretz, E.; Spencer, T. Positive Lyapounov exponents for Schrödinger operators with quasi-periodic potentials, CMP, Volume 142 (1991) no. 3, pp. 543-566

Cité par Sources :