no. 5
Familles de graphes expanseurs et paires de Hecke
Bekka, M.Bachir1 ; Curtis, Robyn2 ; de la Harpe, Pierre2
1 Département de mathématiques, Université de Metz, Ile du Saulcy, 57045 Metz, France
2 Section de mathématiques, Université de Genève, C.P. 240, CH-1211 Genève 24, Suisse
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 463-468.

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Supposons que (G,H) est une paire de Hecke et que H est engendré par un ensemble fini symétrique à k générateurs. Alors G/H possède une structure naturelle de graphe (en général avec boucles et arêtes multiples) dont les composantes connexes constituent une famille (Xi)i∈I de graphes finis connexes k-réguliers. Nous indiquons des critères pour que la taille de ces graphes finis soit ou non bornée, ou tende vers l'infini. Lorsque la taille des Xi tend vers l'infini, nous énonçons des critères pour que (Xi)i∈I soit une famille de graphes expanseurs, ainsi que divers exemples.

Let H be a subgroup of a group G. Suppose that (G,H) is a Hecke pair and that H is finitely generated by a finite symmetric set of size k. Then G/H can be seen as a graph (possibly with loops and multiple edges) whose connected components form a family (Xi)i∈I of finite k-regular graphs. In this Note, we analyse when the size of these graphs is bounded or tends to infinity and we present criteria for (Xi)i∈I to be a family of expanding graphs as well as some examples.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02499-8
Bekka, M.Bachir 1 ; Curtis, Robyn 2 ; de la Harpe, Pierre 2

1 Département de mathématiques, Université de Metz, Ile du Saulcy, 57045 Metz, France
2 Section de mathématiques, Université de Genève, C.P. 240, CH-1211 Genève 24, Suisse 
@article{CRMATH_2002__335_5_463_0,
     author = {Bekka, M.Bachir and Curtis, Robyn and de la Harpe, Pierre},
     title = {Familles de graphes expanseurs et paires de {Hecke}},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {463--468},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {5},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02499-8},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02499-8/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bekka, M.Bachir
AU  - Curtis, Robyn
AU  - de la Harpe, Pierre
TI  - Familles de graphes expanseurs et paires de Hecke
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 463
EP  - 468
VL  - 335
IS  - 5
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02499-8/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02499-8
LA  - fr
ID  - CRMATH_2002__335_5_463_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Bekka, M.Bachir
%A Curtis, Robyn
%A de la Harpe, Pierre
%T Familles de graphes expanseurs et paires de Hecke
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 463-468
%V 335
%N 5
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02499-8/
%R 10.1016/S1631-073X(02)02499-8
%G fr
%F CRMATH_2002__335_5_463_0
Bekka, M.Bachir; Curtis, Robyn; de la Harpe, Pierre. Familles de graphes expanseurs et paires de Hecke. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 5, pp. 463-468. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02499-8. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02499-8/

[1] Andrianov, A. Quadratic Forms and Hecke Operators, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 286, Springer, 1987

[2] Bourbaki, N. Groupes et algèbres de Lie, chapitres 4, 5 et 6, Hermann, 1968

[3] Bost, J.-B.; Connes, A. Hecke algebras, type III factors and phase transitions with spontaneous symmetry breaking in number theory, Selecta Math. (N.S.), Volume 1 (1995), pp. 411-457

[4] de Verdière, Y.C. Spectres de graphes, Cours spécialisés 4, Soc. Math. France, 1998

[5] Curtis, R. Hecke algebras associated with induced representations, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 334 (2002), pp. 31-35

[6] G. Davidoff, P. Sarnak, A. Valette, An Elementary Construction of Ramanujan Graphs, livre à paraı̂tre

[7] Howe, R.; Moore, C. Asymptotic properties of unitary representations, J. Funct. Anal., Volume 32 (1979), pp. 72-96

[8] Iwasawa, K. Topological groups with invariant compact neighbourhoods of the identity, Ann. Math., Volume 53 (1951), pp. 345-348

[9] Lehner, J. Discontinuous Groups and Automorphic Functions, Math. Surveys, 8, Amer. Math. Society, 1964

[10] Lubotzky, A. Discrete Groups, Expanding Graphs and Invariant Measures, Birkhäuser, 1994

[11] Lubotzky, A. Cayley graphs: eigenvalues, expanders and random walks (Rowlinson, P., ed.), Surveys in Combinatorics, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 218, 1995, pp. 155-189

[12] Lubotzky, A.; Weiss, B. Groups and expanders, DIMACS Ser. Discrete Math. Theoret. Comput. Sci., Volume 10 (1993), pp. 95-109

[13] Margulis, G. Explicit construction of concentrators, Problems Inform. Transmission, Volume 9 (1973), pp. 325-332

[14] Schlichting, G. Operationen mit periodischen Stabilisatoren, Arch. Math., Volume 34 (1980), pp. 97-99

[15] Selberg, A. On the estimation of Fourier coefficients of modular forms, Proc. Symp. Pure Math., Volume VIII (1965), pp. 1-15

[16] Tzanev, K. C * -algèbres de Hecke et K-théorie, Mémoire de thèse, Université Paris-7, 2000

Cité par Sources :