Nous donnons une interprétation stochastique de la représentation géométrique, due à E. Cartan, de l'équation de la chaleur en termes d'un idéal de formes différentielles extérieures et d'isovecteurs engendrant les symétries de cette équation. Cette méthode peut également s'interpréter comme une déformation stochastique de la géométrie de contact d'équations différentielles ordinaires du premier ordre et de la recherche des symétries infinitésimales de leur équation associée d'Hamilton–Jacobi. On généralise ainsi de façon élégante et géométrique des résultats provenant initialement de longs calculs d'analyse stochastique.
We give a stochastic interpretation of the geometrical representation, from E. Cartan, of the heat equation, in terms of ideal exterior differential forms and isovectors generating the symmetries of this equation. The method can also be used to interpret as a stochastic deformation the contact geometry of first order ordinary differential equations and the search for infinitesimal symmetries of the associated Hamilton–Jacobi equation. We thus generalise, in an elegant and geometrical way, the results coming originally from long calculations of stochastic analysis.
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Lescot, Paul; Zambrini, Jean-Claude. Isovecteurs pour l'équation de Hamilton–Jacobi–Bellman, différentielles stochastiques formelles et intégrales premières en mécanique quantique euclidienne. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 3, pp. 263-266. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02459-7. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02459-7/
[1] Leçons sur les invariants intégraux, Hermann, Paris, 1958
[2] Les systèmes différentiels extérieurs, Hermann, Paris, 1971
[3] Introduction to Random Time and Quantum Randomness, Monographs of the Portuguese Mathematical Society, McGraw-Hill, Portugal, 2001
[4] Geodesic correction to stochastic parallel displacement of tensors, Stochastic Behavior in Classical and Quantum Hamiltonian Systems, Volta Mem. Conf. Como, 1977, Lecture Notes in Phys., 93, 1979, pp. 241-249
[5] R.V. Gamkrelidze (Ed.), Geometry I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag
[6] Geometric approach to invariance groups and solution of partial differential systems, J. Math. Phys., Volume 12 (1971) no. 4, pp. 653-666
[7] P. Lescot, J.C. Zambrini, Isovectors for the Hamilton–Jacobi–Bellman equation, formal stochastic differentials and constants of motion in Euclidean quantum mechanics, en préparation
[8] Stochastic Analysis, Grundlehren Math. Wiss., 313, Springer-Verlag, 1997
[9] Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer-Verlag, 1986
[10] Probability and quantum symmetries – I. The theorem of Noether in Schrödinger's Euclidean quantum mechanics, Ann. Inst. H. Poincaré, Volume 67 (1997) no. 3, pp. 297-338
[11] Symmetries in the stochastic calculus of variations, Probab. Theory Related Fields, Volume 107 (1997) no. 3, pp. 401-427
[12] Probability and quantum symmetries in a Riemannian manifold, Progr. Probab., 45, Birkhaüser, Basel, 1999, pp. 283-300
[13] Probabilistic interpretation of the symmetry group of heat equations (Decreusefond, L. et al., eds.), Stochastic Analysis and Related Topics VI (Guilo Workshop), Progr. Probab., 42, Birkhaüser, Basel, 1998
[14] Feynman integrals, diffusion processes and quantum symplectic two-forms, J. Korean Math. Soc., Volume 38 (2001) no. 2, pp. 385-408
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