no. 6
On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
[Sur uniformisation simultanée et nonuniformisabilité locale]
Glutsyuk, Alexey1
1 CNRS, Unité de mathématiques pures et appliquées, MR, École normale supérieure de Lyon, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 6, pp. 489-494.

On montre l'existence d'un feuilletage holomorphe de dimension un (à singularités isolées non effaçables) sur une surface algébrique affine lisse appropriée de dimension 2 qui est tangent à un champ vectoriel rationnel, et tel qu'aucune famille de feuilles intersectant une section transverse n'admet d'uniformisation holomorphe paramétrée par une famille d'ouverts simplement connexes de ℂ ¯. On montre, qu'un tel feuilletage peut être choisi transversalement affin, ayant une intégrale première de type Liouville, toutes les feuilles hyperboliques et denses et un cycle attractif. Cela étend le résultat précédent de l'auteur (donnant la réponse négative à la conjecture d'Ilyachenko sur l'uniformisation simultanée) et répond négativement à une version locale de cette conjecture proposée récemment par Chtcherbakov.

We prove existence of a one-dimensional holomorphic foliation (with isolated irremovable singularities) tangent to a rational vector field on appropriate affine algebraic surface of dimension 2 such that the family of leaves intersecting arbitrary given cross-section does not admit a uniformization holomorphic in the parameter by a family of simply connected domains in ℂ ¯. We show that such a foliation can be chosen transversally affine, having a Liouvillian first integral, with dense and hyperbolic leaves and an attracting cycle. This extends the author's result [4] giving a negative answer to Ilyashenko's simultaneous uniformization conjecture and answers negatively to the local version of this conjecture recently proposed by Shcherbakov.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02268-9
Glutsyuk, Alexey 1

1 CNRS, Unité de mathématiques pures et appliquées, MR, École normale supérieure de Lyon, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon cedex 07, France 
@article{CRMATH_2002__334_6_489_0,
     author = {Glutsyuk, Alexey},
     title = {On simultaneous uniformization and local nonuniformizability},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {489--494},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {334},
     number = {6},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02268-9},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02268-9/}
}
TY  - JOUR
AU  - Glutsyuk, Alexey
TI  - On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 489
EP  - 494
VL  - 334
IS  - 6
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02268-9/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02268-9
LA  - en
ID  - CRMATH_2002__334_6_489_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Glutsyuk, Alexey
%T On simultaneous uniformization and local nonuniformizability
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 489-494
%V 334
%N 6
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02268-9/
%R 10.1016/S1631-073X(02)02268-9
%G en
%F CRMATH_2002__334_6_489_0
Glutsyuk, Alexey. On simultaneous uniformization and local nonuniformizability. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 334 (2002) no. 6, pp. 489-494. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02268-9. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02268-9/

[1] Bănică, C.; Forster, O. Complete intersections in Stein manifolds, Manuscripta Math., Volume 37 (1982) no. 3, pp. 343-356

[2] Berndtsson, Bo; Ransford, T.J. Analytic multifunctions, the ∂ ¯-equation, and a proof of the corona theorem, Pacific J. Math., Volume 124 (1986) no. 1, pp. 57-72

[3] Bers, L. Simultaneous uniformization, Bull. Amer. Math. Soc., Volume 66 (1960), pp. 94-97

[4] Glutsyuk, A. Nonuniformizable skew cylinders. A counterexample to the simultaneous uniformization problem, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 332 (2001) no. 3, pp. 209-214

[5] Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds, Invent. Math., Volume 82 (1985) no. 2, pp. 307-347

[6] Ilyashenko, Yu.S. Foliations by analytic curves, Mat. Sb., Volume 88 (1972) no. 130, pp. 558-577

[7] Ilyashenko, Yu.S. Nondegenerate B-groups, Soviet Math. Dokl., Volume 14 (1973), pp. 207-210

[8] Ilyashenko, Yu.S. Covering manifolds for analytic families of leaves of foliations by analytic curves, Topol. Methods Nonlinear Anal., Volume 11 (1998) no. 2, pp. 361-373

[9] Ilyashenko, Yu.S.; Shcherbakov, A.A. Skew cylinders and simultaneous uniformization, Proc. Steklov Inst. Math., Volume 213 (1996), pp. 112-123

[10] Nishino, T. Nouvelles recherches sur les fonctions entières de plusieurs variables complexes (II). Fonctions entières qui se reduisent à celles d'une variable, J. Math. Kyoto Univ., Volume 9 (1969) no. 2, pp. 221-274

[11] Shcherbakov, A.A. The exhaustion method for skew cylinders, Algebra i Analiz, Volume 12 (2000) no. 5, pp. 178-206

[12] Stein, K. Überlagerungen holomorph-vollständiger komplexer Räume, Arch. Math., Volume 7 (1956) no. 5, pp. 354-361

Cité par Sources :